Tp De Geometria

La geometría durante los periodos prehistórico y protohistórico

Los orígenes de la geometría surge con los primeros pictogramas que traza el hombre primitivo, de estas formas comienza el primer acercamiento –informal e intuitivo a la geometría. Así parece confirmarlo la ornamentación en vasijas de cerámica y otros utensilios.

• La geometría en el Antiguo Egipto

Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto (historiador y geógrafo griego 484–425 ac) , Estrabón (historiador y geógrafo griego 64 –19 a.C) y Diodoro (historiador griego del siglo I a. C) , que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales.

Los denominados Papiro de Ahmes y Papiro de Moscú muestran conjuntos de métodos prácticos para obtener diversas áreas y volúmenes.

Los historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta civilización sobre geometría –así como los de las culturas mesopotámicas pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricos y, esencialmente, de Euclides.

• La Geometría griega

 La Geometría griega antes de Euclides

La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámica, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales –un rectángulo ideal, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo, etc.– que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de regla y compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento aunque, en un primer momento, fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.

Tales fue el primero en ser capaz de calcular la altura de las Pirámides de Egipto, para ello midió su altura, y en el preciso momento en el que su sombra medía exactamente la misma cantidad, mandó marcar la sombra del vértice de la Gran Pirámide. De esa forma pudo calcular exactamente cuál era su altura.

La figura de Pitágoras y de la secta por él creada: los pitagóricos, asienta definitivamente el concepto de demostración (éste ya sí coincide con el concepto de demostración formal) como única vía de establecimiento de la verdad en Geometría.

Esta actitud permitió (aun fuera de la secta) la medición del radio de la Tierra por Eratóstenes (matemático, astrónomo y geógrafo griego 276-194 a. C) ,, así como la medición de la distancia a la Luna, y la investigación y establecimiento de la teoría de las palancas, por Arquímedes (matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo 287-212 a.C) , varios siglos después.

En el seno de la secta de los pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática: la aparición de los inconmensurables, pero esta crisis es de carácter más aritmético que geométrico.

 Euclides y Los elementos

Euclides ( matemático y geómetra griego 325- 265 a.C) Su sistema se sintetiza en su obra cumbre, Los elementos, modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en trece volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrada el siglo XIX.

Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. Su veracidad está fuera de toda duda, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente puede deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros cuatro, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra.

Los postulados son:

1. Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una única línea recta.

2. Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.

3. Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una única circunferencia.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado.

 Después de Euclides

Euclides casi cierra definitivamente la geometría griega –y por extensión la del mundo antiguo–, a excepción de las figuras de Arquímedes y Apolonio de Perge (geómetra griego 262 – 190 a.C).

Arquímedes analizó exhaustivamente las secciones cónicas, e introdujo en geometría otras curvas como la espiral que lleva su nombre, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.

Apolonio trabajó en varias construcciones de tangencias entre círculos, así como en secciones cónicas y otras curvas

Es claro que el quinto postulado es diferente de los otros cuatro. No satisfacía a Euclides, quien trató de evitar su uso tanto como pudo - de hecho, las primeras 28 proposiciones de Los elementos se demuestran sin emplearlo. Otro comentario que vale la pena hacer en este punto es que Euclides, y muchos otros que le siguieron, supusieron que las líneas rectas eran infinitas.

Proclo (filosofo griego 410-485) escribió un comentario sobre Los elementos en el cual comenta sobre intentos de deducir el quinto postulado de los otros cuatro; hace notar en particular que Tolomeo había producido una 'prueba' falsa. Proclo prosigue dando una prueba falsa propia. Sin embargo sí dio el siguiente postulado, el cual es equivalente al quinto.

El Axioma de Playfair: Dados una línea y un punto que no esté en ella, es posible dibujar exactamente una línea a través del punto y que sea paralela a la línea.

Aunque es conocido desde la época de Proclo, éste se conoce como Axioma de Playfair después de que John Playfair escribiera un famoso

...