Transformaciones de Galileo

Aquino Vieyra Claudia Michelle

12/ diciembre/ 2022

Transformaciones de Galileo.

En la física nos es crucial describir el movimiento, y la cinemática es la rama encargada de ello, en esta área solo nos importara como es el movimiento e ignoraremos sus causas; para conseguirlo necesitamos a los sistemas de referencia. Un sistema de referencia es el conjunto de un cuerpo de referencia (observador), un sistema de coordenadas (usualmente se usarán las coordenadas cartesianas en la descripción del movimiento en un espacio tridimensional), necesitamos la noción del espacio-tiempo. Para la descripción de las transformaciones de Galileo consideraremos el cambio de percepción de la posición de un objeto o partícula entre distintos observadores, este movimiento será descrito por medio del sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z), además de despreciar las transformaciones de tiempo-espacio (preservan los intervalos de tiempo y la distancia). Estas transformaciones son interesantes hacia los matemáticos ya que son ejemplos de grupos de Lie.

Para empezar, hablaremos de la primera teoría de la relatividad, dicha teoría fue propuesta por Galileo Galilei (1564-1642), es conocida como el principio de relatividad de Galileo. Lo que establece este principio de grosso modo es que todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes uno a otro por sus propiedades mecánicas, es decir que se mantienen invariantes las ecuaciones de Newton, además de no es posible saber a partir de la mecánica si un sistema esta estático o en movimiento.

Introducción a las transformaciones de Galileo.  

Una transformación de Galileo es un cambio de coordenadas y velocidades que deja invariante las ecuaciones de Newton. Para ilustrar la idea a continuación presento un ejemplo simple de una transformación de Galileo.

En la figura 1.1 se muestran dos observadores O y O[pic 1] situados en dos sistemas de referencia inerciales diferentes, de modo que O´ se mueve respecto a O a lo largo del eje OX común con un movimiento rectilíneo uniforme de velocidad V. P es un punto material que se mueve, a lo largo de OX, con velocidades v y v´ respecto de O y O´ respectivamente, Las posiciones de P respecto de O y O´ quedan determinadas por sus respectivas coordenadas x y x´.

[pic 2]

Transformación simple de Galileo, sistemas desplazados con dirección del eje de las X. Figura 1.1.

Para comparar la descripción del movimiento del punto P que hacen los dos observadores de la figura obtenemos que

[pic 3]

pero dentro de estas transformaciones se considera que el tiempo coincide en ambos sistemas, es decir que los sistemas tienen al principio tiempo 0, a partir de ello se dice que la velocidad entre los sistemas es constante, lo que se traduce a

[pic 4]

En general si los sistemas no se mueven en dirección de uno de los ejes como en la figura 1.2 la descripción de la posición debe hacerse de manera vectorial

[pic 5]

Transformación de Galileo de sistemas que no se mueven en dirección de algún eje. Figura 1.2

Con este ejemplo se facilita la comprensión de la escritura vectorial siguiente

[pic 6]

el vector de posición de la partícula respecto a O´[pic 7]

 vector de posición de la partícula respecto a O[pic 8]

 vector de velocidad entre los sistemas[pic 9]

 tiempo[pic 10]

Si la velocidad  es paralela al eje OX se obtendrían las transformaciones de Galileo del sistema      B (x´, y´, z´) al sistema A (x, y, z) esta dado por el siguiente sistema de ecuaciones:[pic 11]

[pic 12]

Para estas transformaciones consideramos que t´=t debido a la aclaración anterior

Las anteriores relaciones se pueden escribir en forma matricial como:

[pic 13]

Este sistema representa el cambio de coordenadas de 2 sistemas en los cuales su velocidad Vx es paralela al eje de las X.

Pero esto son solo los ejemplos más simples, es decir, cuando los ejes son paralelos entre ellos, pero falta considerar cuando un sistema de referencia es una rotación del otro.

Para las transformaciones de Galileo con rotaciones se considera la siguiente representación matricial.

[pic 14]

 s es un número real.[pic 15]

 son vectores en R3[pic 16]

es una matriz de rotación[pic 17]

Aquí será prudente hacer un énfasis en las matrices de rotación, antes de entrar a la matemática implicada en las transformaciones de Galileo, en particular nos enfocaremos a la estructura que representa.

Matrices de rotación

Por definición, una rotación sobre el origen es una transformación que conserva el origen, la distancia euclidiana (por lo que es una isometría) y la orientación (es decir, la mano del espacio). Cada rotación no trivial está determinada por su eje de rotación (una línea que pasa por el origen) y su ángulo de rotación.

Las rotaciones forman un grupo bajo la operación de composición ya que

1. la composición de dos rotaciones da una nueva rotación
2. cada una de las rotaciones tiene una única rotación inversa
3. la función identidad satisface la definición de rotación
4. Las rotaciones compuestas son asociativas

Es importante aclarar que existen dos clases de rotaciones que son las propias y las impropias. Una rotación propia es una rotación sobre un eje (en esta clase de rotación se preserva la orientación), y una rotación impropia es el resultado de la combinación de una rotación sobre un eje y una reflexión en un plano perpendicular a ese eje.

Las rotaciones son aplicaciones lineales y por lo tanto se puede expresar de forma matricial eligiendo una base de Rn. Por lo tanto, se define a una matriz de rotación como la representación matricial de una rotación en el espacio euclídeo. En particular nos interesa el grupo de rotación en tres dimensiones.

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