Técnicas para resolver varias clases de desigualdades analíticamente

1. DESIGUALDADES

Ing. Miguel Turcios, M.Sc., 2016-1

En esta sección, no sólo desarrollamos técnicas para resolver varias clases de desigualdades analíticamente, también las vemos gráficamente.  

Propiedades:

Es importante recordar que al multiplicar o dividir  ambos lados de la desigualdad por número real negativo el símbolo de la desigualdad se invierte.

Propiedades de valor absoluto  [pic 15]

1.   Sea   y  [pic 20][pic 21]

1. Resuelva  [pic 22]
2. Resuelva [pic 23]
3. Resuelva [pic 24]
4. Grafique   y   en el mismo sistemas de coordenadas e interprete las soluciones  de la a la c.[pic 25][pic 26]

Exprese la desigualdad como intervalo y trace su gráfica (recta numérica real)

1.                   Solución  [pic 29][pic 27][pic 28]

1.                   Solución  [pic 32][pic 30][pic 31]

1.                 Solución          [pic 35][pic 33][pic 34]

1.          Solución                                 [pic 40][pic 41][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

1.             Solución                [pic 44][pic 42][pic 43]

Exprese el intervalo como una desigualdad en la variable x

1. [pic 45]
2. [pic 46]
3. [pic 47]

Resuelva la desigualdad  y exprese las soluciones en términos de intervalos siempre que sean posibles.

1.   [pic 48]
2.    [pic 49]
3.   [pic 50]

Solución   

             Reste 5 en los lados derecho, izquierdo y centro (para aislar el término que contiene la variable x).[pic 51]

                          [pic 52]

[pic 53]

                                    Divida entre 3  (para que x quede aislada totalmente) [pic 55][pic 54]

                              Colocar en orden creciente los términos de la desigualdad.[pic 56]

                            --→    [pic 57][pic 58]

1.                               [pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 59][pic 60][pic 61]

                                  [pic 70][pic 71][pic 72][pic 67][pic 68][pic 69]

                               [pic 75][pic 76][pic 77][pic 73][pic 74]

[pic 78]

1. [pic 79]

1. [pic 80]

Resuelva las desigualdades de valor absoluto analíticamente y exprese el resultado de forma geométrica (recta numérica real), usando notación de intervalo y construcción de conjuntos.   Además, verifique sus respuestas gráficamente para los ejercicios del 16 al 25.

1.                 [pic 81]
2. [pic 82]
3. [pic 83]
4. [pic 84]
5. [pic 85]
6. [pic 86]
7. [pic 87]
8. [pic 88]
9. [pic 89]
10. [pic 90]
11.      [pic 91]

   Solución.     Aplicando la propiedad 6

                                    ó             [pic 92][pic 93]

                              ó                                    [pic 94][pic 95]

                                        ó                             --→  [pic 96][pic 97][pic 98]

1. [pic 99]

1. [pic 100]

Solución[pic 101]

[pic 102]

[pic 104][pic 103]

[pic 106][pic 105]

[pic 108][pic 107]

         Aplicando la definición de valor absoluto[pic 109]

        ó       [pic 110][pic 111]

                                                                     [pic 112][pic 113]

                                                                         [pic 114][pic 115]

                                                                        [pic 116][pic 117]

Respuesta:    [pic 118]

1. [pic 119]

1. [pic 120]

1.                 [pic 121]

Solución:    Partir la doble desigualdad en dos desigualdades simples.

                                   [pic 124][pic 122][pic 123]

                                                           [pic 125]

 [pic 126]

                                       [pic 129][pic 127][pic 128]

                                                           [pic 130]

 [pic 131]

Nuestra solución a la ecuación , está compuesta por los valores de x que satisfagan ambas partes de la desigualdad, por lo que tomamos las intersecciones de  y  para obtener.[pic 132][pic 133][pic 134]

           (También, gráficamente se puede encontrar fácilmente el intervalo)[pic 135]

1. [pic 136]

Solución:

                                                                        Simplificando[pic 137]

[pic 138]

Sí  ,        - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -       [pic 139][pic 140]

[pic 141]

[pic 142]

[pic 143]

                                                                                                            ok.[pic 144]

Sí   ,         - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -          [pic 145][pic 146]

[pic 147]

[pic 148]

                                                                                                            ok.[pic 149]

Graficar en el mismo sistema de coordenadas    y  , e identifique la solución.[pic 150][pic 151]

Solución:     [pic 152]

1. La ganancia en Dólares, por la venta de  botellones de agua purificada certificada está dada por[pic 153]

 ,      para .  ¿Cuántos botellones de agua deben venderse para obtener al menos $50 de ganancia? [pic 154][pic 155]

 [pic 156]

 [pic 157]

 [pic 158]

 [pic 159]

 [pic 160]

   [pic 161]

R:/ Deberá vender cualquier cantidad entre 10 y 15 botellones.  Verifique estos resultados encontrando las raíces de la función , utilizando “Quadratic solver”on line.[pic 162]

1.        [pic 163]

Solución

Para que el lado izquierdo de la desigualdad sea  (es decir; positivo), considerando que el numerador es una constante negativa, es que el denominador también sea negativo, porque .   Por lo que resolveremos la desigualdad   .[pic 164][pic 165][pic 166]

                                                    Reste 4 en ambos lados de la dsigualdad[pic 167]

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