Un espacio vectorial V sobre un cuerpo F

ESPACIO VECTORIAL: un espacio vectorial V sobre un cuerpo F es un conjunto para el cuál se cumplen las siguientes condiciones

2.1.- está definida en V una operación suma que asocia a cada un único elemento que satisface:

- la suma es asociativa

- la suma es conmutativa

- existe un elemento neutro

- a cada le corresponde un

- es decir, el par es un grupo abeliano.

2.2.- está definida una operación multiplicación por escalar, que a cada le asocia un único elemento que satisface

- la multiplicación por escalar es asociativa

- la multiplicación por escalar es distributiva con respecto a la suma vectorial

- la multiplicación por escalar es distributiva con respecto a la suma escalar

- el escalar 1 es neutro con respecto a la multiplicación por escalar

- la terna es un espacio vectorial

2.3.- En general se llama espacio vectorial sobre el cuerpo R de los números reales a la terna donde;

- V es un conjunto

- + es una operación interna en V tal que el par (V,+) cumple con propiedades de grupo abeliano.

- es una ley externa sobre V tal que el par tal que se llama multiplicación de vectores por escalares.

- los elementos de V se llaman vectores; los elementos de R se llaman escalares siempre y cuando operen sobre V.

3.- COMBINACIONES LINEALES: es un espacio vectorial definidas a lo menos las operaciones suma vectorial y multiplicación por escalar.

3.1.- El vector u es una combinación lineal de los vectores si existen escalares tal que

- si u es una combinación lineal de y cada es combinación lineal de entonces u es combinación lineal de .

- si S es un subconjunto de V, entonces el conjunto generado por S, denotado es el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S. (cada combinación lineal contiene sólo un número finito de sumandos).

3.2.- Resolver un sistema lineal de ecuaciones lineales de m ecuaciones y n incógnitas en F es equivalente a resolver un problema de combinación lineal de vectores en .

- para determinar si un vector en es o no una combinación lineal de vectores dados, es necesario resolver un sistema de ecuaciones. (Esto también es válido para el espacio de polinomios).

- en general, dados dos vectores y el vector se dice que es una combinación lineal de los vectores .

4.- INDEPENDENCIA, DEPENDENCIA LINEAL:

4.1.- Sea . Si algún es combinación lineal de los otros vectores en S, entonces se puede eliminar sin variar el conjunto generado.

4.2.- un conjunto de vectores es linealmente dependiente (LD) si algún vector del conjunto es combinación lineal de otros vectores en el conjunto.

- si el conjunto S es LD entonces se puede eliminar a lo menos un vector de S sin alterar el conjunto generado .

- o bien, dos vectores se dice que son LD o que es un conjunto ligado, si existen dos escalares , siendo al menos uno de ellos no nulo, tales que

- Ejemplo: los vectores x = (3,-5) e y = (-12,20) son LD, ya que

4.3.- si son LD, se cumple

es decir

de esta igualdad entre sus componentes

suponiendo

- si dos vectores no nulos de son LD, sus componentes son proporcionales.

4.4.- un conjunto de vectores es linealmente independiente (LI) si ningún vector es combinación lineal de otros.

- si el conjunto S es LI entonces la eliminación de cualquier elemento de S altera el conjunto generado .

4.5.- Existe una definición más simétrica o estándar matemática de dependencia e independencia lineal de conjuntos equivalente a las anteriores y dice:

 un conjunto indexado de vectores es LD si existen escalares no todos nulos tal que

 el conjunto que consta de un solo vector u es LD si existe

 Si entonces es LI.

 Ejemplo:

los vectores u=(2,0) y v=(0,3) son LI, pues de resulta

igualando componentes

 El conjunto que consta de un solo vector u es LI si existe

5.- BASES DE ESPACIOS VECTORIALES:

5.1.- Un subconjunto S de V se dice que es una base de V si se cumplen las siguientes condiciones:

- S genera a V, esto es, todo elemento de V es una combinación lineal de elementos de S.

- S es linealmente independiente.

5.2.- si un espacio vectorial tiene una base con un número finito n de elementos, entonces toda base tiene n elementos.

5.3.- se llama base canónica

6.- DIMENSION DE V:

- si un espacio vectorial V tiene base B finita, entonces el número de elementos de B se llama la dimensión de V, y se denota como

dim(v)=n.

- a dimensión del espacio se define como 0.

- un espacio V tiene dimensión finita n si y sólo si n es el máximo número de vectores linealmente independiente que un subconjunto de V puede tener.

7.- SISTEMAS DE COORDENADAS:

- si es una base de V, entonces para cada vector existen escalares tales que estos escalares son únicos

- a dos vectores distintos les corresponden distintos escalares.

- ( ) se llama las coordenadas de u con respecto a la base .

- o bien, los números reciben el nombre de coordenadas de l vector x respecto de la base , para un vector

Ejemplo:

las coordenadas del vector (7,16) respecto a la base formada por los vectores u=(1,3) y v=(1,2) son 2 y 5 respectivamente puesto que

igualando coeficientes

la solución del sistema es

8.- SUBESPACIOS:

- un subespacio W de V es un subconjunto no vacío de V que es un espacio vectorial con respecto a las operaciones de suma y multiplicación por escalar definidos en V.

- un subconjunto es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las condiciones:

• W es no vacío

• es decir W es cerrado bajo la suma

• es decir W es cerrado bajo la multiplicación por escalar.

TRANSFORMACIONES LINEALES

Las transformaciones lineales o mapeos son de importancia fundamental en el álgebra lineal y en sus aplicaciones. Son transformaciones entre espacios vectoriales que conservan la suma vectorial y la multiplicación por escalar.

1.- Definición: sean V y W dos espacios vectoriales. Existe una función T llamada transformación lineal de V en W:

expresado en diagrama

o bien

2.- es una transformación lineal si "preserva" las dos operaciones básicas de un espacio vectorial; la adición de vectores y la multiplicación por un escalar.

3.- Ejemplo: Determinar si la función definida por f(x) =(2x,3x) es transformación lineal.

Solución:

1° por definición de f f(x,y)=

aplicando ley distributiva

2° por definición de f

3° por 1° y 2° f es transformación lineal.

4.- Toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita puede representarse matricialmente.

5.- Si es una transformación lineal entonces se cumple:

Ejemplo:

Determinar si definida por T(x,y)=(x+2,y+3) es transformación lineal.

Solución:

antes de considerar las condiciones analizamos T(0,0)

T(0,0)=(0+2,0+3)=(2,3) ¹(0,0)

como el vector nulo no es aplicado sobre el vector nulo, decimos que no es una transformación lineal

6.- Teorema fundamental de las transformaciones lineales:

(existencia y unicidad de las transformaciones lineales)

• Sean V y W dos espacios vectoriales y una base de V

• Si son vectores de W, no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal tal que

Ejemplo:

Si tal que T(0,2)=3 y T(8,0)=4, encuentre T(x,y) y calcule T(2,4).

Solución:

por tanto

7.- Núcleo e imagen:

Sea una transformación lineal.

• el núcleo de T, es el conjunto

• la imagen de T es el conjunto

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