Uso Y La Aplicación De La Ley Del Seno Y Coseno

Uso y la aplicación de la ley del seno y coseno

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c, entonces .

Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.

Aplicación, Ley de los Senos

La ley de los senos tiene aplicación en cantidades vectoriales:

Tiene aplicación junto con la ley de los cosenos para los problemas del ángulo de orientación para un avión sobre el viento.

La ley de los cosenos

La ley de los cosenos relaciona las longitudes de los lados de un triángulo plano con el coseno de uno de sus ángulos. Utilizando la notación como en la figura. 1, la ley de los cosenos dice

Dónde: denota el ángulo contenido entre los lados de longitudes a y b y opuesto al lado de la longitud c.

La ley de los cosenos generaliza el teorema de Pitágoras, que tiene sólo para triángulos rectángulos: si el ángulo? es un ángulo recto, entonces cos? = 0, y por lo tanto la ley de los cosenos se reduce al teorema de Pitágoras:

La ley de los cosenos es útil para calcular el tercer lado de un triángulo cuando se conocen dos lados y su ángulo cerrado, y en el cálculo de los ángulos de un triángulo si se conocen los tres lados.

Mediante el cambio de la cual los lados del triángulo desempeñan los papeles de a, b, y c en la fórmula original, se descubre que las dos fórmulas siguientes también establecen la ley de los cosenos:

Aunque la idea del coseno aún no se ha desarrollado en su tiempo, los Elementos de Euclides, que data del siglo tercero antes de Cristo, contiene un teorema geométrico temprano casi equivalente a la ley de los cosenos. El caso de triángulo obtuso triángulo agudo se tratan por separado, en las Proposiciones 12 y 13 del libro 2 - Funciones trigonométricas y álgebra estar ausente en el tiempo de Euclides, la declaración tiene un sabor más geométrico:

Propuesta 12 En los triángulos que forman ángulos obtusos la plaza en el lado que subtiende el ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso por dos veces el rectángulo comprendido por uno de los lados sobre el ángulo obtuso, es decir, que en el que la perpendicular cae , y la línea recta cortada fuera de la perpendicular hacia el ángulo obtuso. Los Elementos de Euclides-, traducción de Thomas L. Heath.

Utilizando la notación como en la figura. 2, la declaración de Euclides se puede representar por la fórmula

Esta fórmula se puede transformar en la ley de los cosenos señalando que CH = cos = - cos?. Propuesta 13 contiene una declaración completamente análoga para los triángulos agudos.

El teorema se popularizó en el mundo occidental por François Vite en el siglo 16. A principios del siglo 19, la notación algebraica moderna permitió que la ley de los cosenos para ser escrito en su forma simbólica actual.

Aplicaciones

El teorema se utiliza en triangulación, para la resolución de un triángulo o círculo, es decir, para encontrar:

• el tercer lado de un triángulo si uno sabe dos lados y el ángulo entre ellos:

• los ángulos

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