VECTORES EN EL ESPACIO BIDIMENSIONAL Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

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1.1 VECTORES EN EL ESPACIO BIDIMENSIONAL  Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.[pic 3]

Hasta el curso anterior de matemáticas, estudiante de Ingeniería se ha concentrado en el estudio de funciones de una variable cuyas graficas existen en un espacio bidimensional, en esta unidad se inicia con  el estudio del cálculo de varias variables con una introducción a los vectores en el espacio bidimensional (plano), y posteriormente se realizará en vectores y funciones definidos en el espacio tridimensional (espacio).

En el estudio de las ciencias, las matemáticas o las ingenierías, se distinguen dos cantidades importantes:

• Magnitudes escalares (escalar).
• Magnitudes vectoriales (vector).

Una magnitud escalar, es un número real (constante) que se utiliza para representar magnitudes sin indicar dirección y pueden tener unidades específicas asociadas, ejemplos:

• Longitud: 10 metros                        l=10 m
• Temperatura: 20°C                        T=20°C
• Tiempo: 15 segundos                         t=15 s
• Costo: 1 000 pesos                        C= $1 000.00

Las aplicaciones matemáticas frecuentemente se relacionan con cantidades que poseen tanto magnitud como dirección (magnitudes vectoriales) y se representan por flechas o segmentos dirigidos, por ejemplo la velocidad, podemos considerar la velocidad de un móvil (auto, camión, avión, barco, ferrocarril, etc.), la rapidez con que este se desplace tiene cantidad o magnitud (Km/hr), y la dirección determina su curso, por ejemplo norte, sur, este, oeste, ó un ángulo de desplazamiento en general. Otros ejemplos estas magnitudes pueden ser:

• Fuerza.                                

• Aceleración.
• Trabajo.
• Velocidad

SISTEMAS DE COORDENADAS EN DOS DIMENSIONES .[pic 4]

Un sistema coordenado en dos dimensiones se representa mediante pares ordenados en un plano, y se le denomina Sistema coordenado rectangular o Sistema cartesiano.

Este sistema está formado por dos rectas coordenadas perpendiculares que se cortan o intersectan en el origen “0” de ambas, llamadas ejes coordenados.

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En el estudio de la Física y la Ingeniería se entiende por vector o vector de desplazamiento un segmento rectilíneo dirigido, es un segmento de recta que parte desde un punto  (punto inicial) y llega hasta un punto  (punto final), se denota por  y se representa por una flecha; la cola de la flecha se denomina punto inicial, y la punta de la flecha recibe el nombre de punto final. El nombre de un vector se puede expresar por letras negritas , o letras con una línea sobre de ella . Cuando se dese enfatizar el punto inicial  y final  de un vector, se utiliza la notación  para representar al vector.[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

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Longitud de un vector: se representa por la distancia que existe entre el punto inicial y el punto final de un vector. Sea el vector  donde el punto inicial  tiene las coordenadas  y el punto final  tiene las coordenadas , la longitud del vector se  expresa, utilizando el Teorema de Pitágoras, por:[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

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La longitud del vector, también se conoce como módulo, magnitud o norma del vector. Cuando el vector parte del origen (vector de desplazamiento) su notación es  , la magnitud, denotada por , se obtiene con la expresión:[pic 39][pic 40]

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Las componentes del vector se expresan por los puntos  y  que ubican la posición de la punta de flecha del vector, su valor numérico representan la magnitud sobre el eje horizontal o vertical correspondiente.[pic 42][pic 43]

La dirección de un vector en  distinto de cero, se expresa por su ángulo director en . El ángulo director (ángulo positivo) de cualquier vector diferente de cero es el ángulo , medido desde la abscisa positiva (parte positiva del eje ) en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj hasta la representación de posición del vector.[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

En aplicaciones matemáticas, físicas y científicas en general, el ángulo positivo se expresa en radianes en el intervalo , es decir . [pic 48][pic 49]

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Las componentes del vector se calculan utilizando las razones trigonométricas fundamentales aplicadas en un triángulo rectángulo, y en particular con las funciones seno, coseno. La función tangente se utiliza para determinar la dirección del vector, siendo cuidadoso de los signos de cada componente en el plano.

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