EJER. VECTORES EN EL ESPACIO

1. Una fuerza de 100𝑁 pasa por los puntos 𝐴(−4 ; 5 ; −3) y 𝐵(10 ; −2 ; 3)

1. Gráfico los vectores
2. Expresar el vector fuerza en función de su módulo y unitario
3. Expresar el vector en función de sus componentes vectoriales rectangulares
4. Calcular los ángulos directores
5. Expresar el vector fuerza en función de sus componentes polares
6. Expresar el vector fuerza en función de sus componentes geográficas
7. Expresar el vector fuerza en función de sus componentes esféricas
8. Expresar el vector fuerza en función de sus componentes cilíndricas

Desarrollo:

1. Gráfico los vectores

𝒚[pic 2]

𝒙

1. Expresar el vector fuerza en función de su módulo y unitario

Puntos:

𝐴(−4 ; 5 ; −3)    vector posición 𝐴⃗ = 𝑟⃗𝐴  = −4𝑖⃗ + 5𝑗⃗ − 3𝑘⃗⃗

𝐵(10 ; −2 ; 3)    vector posición 𝐵⃗⃗ = 𝑟⃗𝐵  = 10𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 3𝑘⃗⃗

Aplicamos en el gráfico la suma de vectores por el método del polígono

𝐴⃗  + 𝑨⃗⃗⃗⃗𝑩⃗⃗⃗  = 𝐵⃗⃗

𝑨⃗⃗⃗⃗𝑩⃗⃗⃗ = 𝐵⃗⃗ − 𝐴⃗

𝑨⃗⃗⃗⃗𝑩⃗⃗⃗ = (10𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 3𝑘⃗⃗) − (−4𝑖⃗ + 5𝑗⃗ − 3𝑘⃗⃗)

𝑨⃗⃗⃗⃗𝑩⃗⃗⃗ = 14𝑖⃗ − 7𝑗⃗ + 6𝑘⃗⃗

Modelo matemático del vector fuerza en función de su módulo y unitario

⃗𝑭⃗ = 𝑭⃗𝒖⃗𝑨𝑩

⃗𝑭⃗ = 𝑭 (⃗𝑨⃗⃗⃗⃗𝑩⃗⃗[pic 3]

)

𝑨𝑩

𝐹⃗ = (100𝑁) (        14𝑖⃗ − 7𝑗⃗ + 6𝑘⃗⃗        )[pic 4]

√(14)2 + (−7)2 + (6)2

𝐹⃗ = (100𝑁) (        14𝑖⃗ − 7𝑗⃗ + 6𝑘⃗⃗        )[pic 5]

√(14)2 + (−7)2 + (6)2

𝐹⃗ = (100𝑁) (14𝑖⃗ − 7𝑗⃗ + 6𝑘⃗⃗)[pic 6]

√281

𝐹⃗= (100𝑁) ( 14[pic 7]

√281

7

𝑖⃗ −[pic 8]

√281

6

𝑗⃗ +[pic 9]

√281

𝑘⃗⃗)

⃗𝑭⃗ = (𝟏𝟎𝟎𝑵)(𝟎, 𝟖𝟑𝟓 𝒊⃗ − 𝟎, 𝟒𝟏𝟖 𝒋⃗ + 𝟎, 𝟑𝟓𝟖 ⃗𝒌⃗)

1. Expresar el vector en función de sus componentes vectoriales rectangulares

𝐹⃗ = (100𝑁)(0,835 𝑖⃗ − 0,418 𝑗⃗ + 0,358 𝑘⃗⃗)

⃗𝑭⃗ = (𝟖𝟑, 𝟓 𝒊⃗ − 𝟒𝟏, 𝟖 𝒋⃗ + 𝟑𝟓, 𝟖 ⃗𝒌⃗)𝑵

1. Calcular los ángulos directores

𝒚

𝒙[pic 10]

Componentes del vector fuerza:

𝑭𝒙  = 𝟖𝟑, 𝟓 𝑵

𝑭𝒚  = −𝟒𝟏, 𝟖 𝑵

𝑭𝒛  = 𝟑𝟓, 𝟖 𝑵

• cos 𝛼 = 𝐹𝑥

𝐹

83,5𝑁

;        cos 𝛼 =[pic 11]

100𝑁

;        𝐜𝐨𝐬 𝜶 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟓

𝛼 = cos−1

 𝐹

(   )  ;        𝛼 = cos[pic 12]

𝐹

−1    83,5

100𝑁[pic 13][pic 14]

)        ;        𝜶 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟖°

• cos 𝛽 = 𝐹𝑦

𝐹

−41,8𝑁

;        cos 𝛽 =[pic 15]

100𝑁

;        𝐜𝐨𝐬 𝜷 = −𝟎, 𝟒𝟏𝟖

𝛽 = cos−1

 𝐹𝑦

(   )        ;        𝛽 = cos

𝐹

−1    −41,8

100𝑁[pic 16][pic 17]

)        ;        𝜷 = 𝟏𝟏𝟒, 𝟕𝟏°

• cos 𝛾 = 𝐹𝑧

𝐹

35,8𝑁

;        cos 𝛾 =[pic 18]

100𝑁

;        𝐜𝐨𝐬 𝜸 = 𝟎, 𝟑𝟓𝟖

𝛾 = cos−1

 𝐹

(  )        ;        𝛾 = cos[pic 19]

𝐹

−1    35,8

100𝑁[pic 20][pic 21]

)        ;        𝜸 = 𝟔𝟗, 𝟎𝟐°

Nota:

𝐹⃗ = (100𝑁)(0,835 𝑖⃗ − 0,418 𝑗⃗ + 0,358 𝑘⃗⃗)

⃗𝑭⃗ = 𝑭(𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒊⃗ + 𝐜𝐨𝐬 𝜷 𝒋⃗ + 𝐜𝐨𝐬 𝜸 ⃗𝒌⃗)

1. Expresar el vector fuerza en función de sus componentes polares

𝐹⃗ = (𝐹 ; 𝛼 ; 𝛽 ; 𝛾)

⃗𝑭⃗ = (𝟏𝟎𝟎𝑵  ;  𝟑𝟑, 𝟑𝟖°  ;  𝟏𝟏𝟒, 𝟕𝟏°  ;  𝟔𝟗, 𝟎𝟐°)

1. Expresar el vector fuerza en función de sus componentes geográficas

⃗𝑭⃗ = (𝑭 ; 𝒓𝒖𝒎𝒃𝒐 ; 𝜹)

𝛿 = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛

𝛿(+) = 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝜹 = 𝟗𝟎° − 𝜷

𝛿(−) = 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝜹 = 𝜷 − 𝟗𝟎°

𝒚

𝒏𝒐𝒓𝒕𝒆 (𝑵)[pic 22][pic 23]

...