VECTORES EN EL ESPACIO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTÍN[pic 1]

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA

ÁREA DE MATEMÁTICA

VECTORES EN EL ESPACIO

Terna Ordenada: (x, y, z)

Llamaremos par ordenado a dos objetos cualquiera “a” y “b”, que denotaremos por (a, b), donde “a” es llamado primera componente y “b” la segunda componente.

Producto Cartesiano:

A x B x C = {(x, y, z) / x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C} Trabajando con número reales:

 3 = {(x, y) / x ∈ , y ∈ , z ∈ } Es llamado 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐i𝑜 𝑡𝑟i𝑑i𝑚𝑒𝑛𝑠i𝑜𝑛𝑎𝑙.

Eje de coordenadas: X, Y, Z

x: abscisa       y: ordenada        z: cota 0: origen de coordenadas

x: es la distancia dirigida del punto P al plano YOZ y: es la distancia dirigida del punto P al plano XOZ z: es la distancia dirigida del punto P al plano XOY

El conjunto 3 de ternas ordenadas de números reales, junto con las operaciones de suma y multiplicación por un escalar juntos con las propiedades definidas en 2, recibe el nombre de

𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐i𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟i𝑎𝑙 𝑡𝑟i𝑑i𝑚𝑒𝑛𝑠i𝑜𝑛𝑎𝑙 sobre el conjunto de números reales, y a sus elementos se les llama 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 denotados por (x, y, z).

Vectores en el Espacio.

En el espacio se denota al vector cero como 0̅ = (0, 0, 0)

Tal  como  en   2,  todo  vector  𝑎̅  =  (a1,  a2,  a3)        puede  ser  representado  geométricamente  por  una flecha, de la siguiente manera:

• Si elige un punto Po a partir del cual se traza la flecha hasta P1 que será representada por 𝑎̅ (𝑎̅ =

̅𝑃̅0̅̅𝑃̅1̅ = P1 – P0), donde Po es punto inicial y P1 punto final.

• Cada vector puede ser representado por muchas flechas dependiendo del punto de partida., por eso también se les llama vectores libres.
• Si el vector parte del origen se le denomina radio vector.

Dados los vectores 𝑎̅ = (a1, a2, a3), 𝑏̅ = (b1, b2, b3) y 𝑣̅ = (x, y, z) en  3 y r ∈  , entonces:

1. Igualdad de vectores: 𝑎̅ = 𝑏̅ ⇔ a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3[pic 2]
2. Longitud o norma de un vector: ||𝑣̅|| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑣̅

1. Vector unitario en la dirección de 𝑣̅: 𝑢̅ =

[pic 3]

||𝑣̅||

4.  Suma de Vectores: 𝑎̅ + 𝑏̅ = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)

5.  Multiplicación de un vector por un escalar: r.𝑎̅ = (r.a1, r.a2, r.a3)

Ejercicios:

1. 𝑎̅ y 𝑏̅ son los vectores de posición de los segmentos ̅𝑃̅̅𝑄̅ y ̅𝑅̅̅𝑆̅. Si 2𝑎̅ = 3𝑏̅ y P(3, -1, 2), Q(x, y,          z), R(-2, 3, -3) y S (2, 5, -5). Hallar el vector 𝑎̅.
2. Sea  𝑣̅        =  (3,  -6,  1)  el  vector  de  posición  del  segmento  𝐴̅̅̅𝐵̅  y  sea  C(6,  -1,  2)  el  punto  de

trisección, más cercano de A, de dicho segmento, hallar las coordenadas de A y B.

1. Demostrar que los puntos A(6, 3, 4), B(2, 1, -2) y C(4, -1, 10) son vértices de u triángulo isósceles.

4.        Si 𝑎̅ = (3, 5, -1), 𝑏̅ = (6, -2, 3) y 𝑐̅ = (-3, 2, 0), hallar el vector 𝑥̅  que satisfaga la ecuación 3𝑥̅  +

6𝑎̅ – 5𝑐̅ = 8𝑏̅.

1. Sean Si 𝑎̅ = (2, -1, 5), 𝑏̅  = (-1, -2, 3) y 𝑐̅ = (1, -1, 1) tres vectores en , hallar un vector unitario en la dirección del vector 𝑣̅ = 𝑎̅ – 𝑏̅ + 𝑐̅.
2. Determine las coordenadas de los extremos de un segmento que está dividido en partes iguales mediante los puntos C(2, 0, 2) y D(5, -2, 0)
3. El segmento de una recta limitado por los puntos A(-1, 8, 3) y B(9, -7, -2), está dividido en cinco partes iguales por los puntos C, D, E y F. Hallar las coordenadas de estos puntos.

Dirección de un vector en el espacio.

A cada vector no nulo 𝑣̅ = (x, y, z) ∈ 3, le corresponde una dirección dada por tres ángulos de dirección α, β, γ, cada uno de los cuales es el ángulo determinado por los ejes positivos del sistema tridimensional con el vector 𝑣̅ en posición ordinaria. Los ángulos de dirección se elige de manera que sus medidas estén comprendidas en el intervalo [0, π]

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