Vectores En El Espacio Tridimencional

VECTOR EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Un vector en el espacio tridimensional es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Un vector en el espacio tridimensional es un tema ordenada de números reales, X Y Z. Los números X Y Z se denominan componentes del vector, X Y Z. Se dice que los vectores son el conjunto de todos los temas ordenadas, X Y Z, donde, X Y Z son números reales, se denota por 3V. Un vector de 3V puede representarse mediante un segmento dirigido. Si 1 2 3, A A A A=G, entonces el segmento dirigido que tiene su punto inicial en el origen y su punto terminal en el punto ( ) 1 2 3, a a a recibe el nombre de representación de posición de A G. Un Segmento dirigido que tiene su punto inicial en x y z y su punto terminal en el punto 1 2 3, x a y a z a + + + es también una representación del vector A. el vector cero es el vector 0, 0,0 y se denota por 0. Cualquier punto es una representación del vector cero. El módulo de un vector es la longitud de alguna de sus representaciones. Si el vector 1 2 3, A a a a =, El módulo de A se denota por A, Y 2 2 21 2 3 A a a a = La dirección de un vector diferente del vector cero de 3V está determinada por tres ángulos llamados ángulos directores del vector

Magnitudes Escalares

Las magnitudes escalares son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un sólo número real y una unidad de medida. Ejemplos de este tipo de magnitud son la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Se las puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al número real que indica su medida. Otros ejemplos de magnitudes escalares son la densidad; el volumen; el trabajo mecánico; la potencia; la temperatura.

A las magnitudes vectoriales no se las puede determinar completamente mediante un número real y una unidad de medida. Por ejemplo, para dar la velocidad de un móvil en un punto del espacio, además de su intensidad se debe indicar la dirección del movimiento (dada por la recta tangente a la trayectoria en cada punto) y el sentido de movimiento en esa dirección (dado por las dos posibles orientaciones de la recta)

Magnitudes Escalares son aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:

1- ) La masa: es una medida de la cantidad de materia que posee un cuerpo

2- ) La temperatura: es una magnitud referida a las nociones comunes de caliente, tibio o frío que puede ser medida con un termómetro

3- ) La presión: es una magnitud física que mide como la proyección de la fuerza en dirección perpendicular por unidad de superficie

4- ) La densidad: es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa contenida en un determinado volumen de una sustancia

Vectores unitarios y componentes de un vector

Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.

Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad.

De ese modo,

Los escalares , y se denominan componentes del vector y se representan por:

Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y k.

También puede representarse de la siguiente forma:

Producto de un vector por un escalar

El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características:

1.- Tiene la misma dirección que v.

2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.

3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. (Si k es 0 el resultado es el vector nulo).

Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.

Ejemplo: Dado el vector v de componentes: vxi + vyj + vzk, el producto 3 • v = 3 • vxi + 3 • vyj + 3 • vzk.

La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar.

Ejemplo:

Propiedades

El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:

1.- Conmutativa: k • v = v • k.

2.- Distributiva: k (v + u) = (k • v) + (k • u).

3.- Elemento Neutro: 1 • v = v.

4.- Elemento Simétrico: -1 • v = - v.

Producto de un escalar escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r • v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:

r = rxi + ryj + rzk

v = vxi + vyj + vzk

Teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores:

i • i = j • j = k • k = 1

i

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