Vectores En El Espacio

Vectores en el espacio

En muchas ocasiones, cuando se habla de las dimensiones de una habitación, por ejemplo, hay una referencia a las medidas que tiene: anchura, longitud y altura.

Para conocer su tamaño, es necesario conocer las tres medidas; se dice por eso que la habitación es un objeto tridimensional, como lo es una mesa, un balón de fútbol, una flor o casi cualquier objeto del mundo físico que nos rodea. Por otra parte, cuando se habla de un plano, en Geometría, se trata de una superficie con sólo dos dimensiones 'medibles' sobre ella: anchura y longitud. Por ejemplo, en el plano cartesiano, los ejes de coordenadas (abscisas y ordenadas) son referencias a las dos dimensiones del plano. Entre las figuras geométricas de una sola dimensión o unidimensionales están aquellas que sólo tienen longitud: las rectas y las curvas. Se considera a los puntos del plano como objetos de dimensión cero.

Volviendo al espacio de tres dimensions, puede representarse gráficamente un sistema de coordenadas adecuado para registrar las tres dimensiones de una figura geométrica, añadiendo un eje más al sistema de coordenadas rectangulares del plano cartesiano, que sea perpendicular a sus dos ejes:

Así, se tiene la posibilidad de asignar a cualquier punto del espacio, una terna de números reales que definen la ubicación de en relación al punto de coordenadas (0,0,0), llamado el origen de coordenadas.

Si ahora se considera al vector cuyo origen es el punto y cuyo extremo es el punto , se obtiene el vector tridimensional .

Como cada vector construido de esta forma tiene sus 3 coordenadas en el conjunto de los números reales, se denomina al conjunto de todos esos vectores:

Ejemplos:

a) Todo vector con la tercera coordenada igual a cero, está contenido en el plano :

b) Si la segunda coordenada de es igual a cero, estará en el plano :

Al igual que entre los vectores en el plano, entre los vectores en el espacio también se pueden realizar operaciones como la suma y la resta, y todo vector del espacio se puede multiplicar por unescalar.

Esto se hace de la manera siguiente: Si y , entonces:

y

Si es un número real ó escalar,

Ejemplo:

;

Si , entonces:

Es interesante notar que, en el ejemplo anterior, la recta que contiene al vector contiene a todos los vectores de la forma , donde puede ser cualquier número real, positivo o negativo, y todo punto de esa recta, representa un vector de la forma , es decir, es de la forma . Se dice que la recta de la figura de la izquierda está generada por .

Combinación lineal de dos o más vectores

Dados los vectores y , se pueden hacer las operaciones siguientes:

Se dice que el vector (8,4,7) es combinación lineal de y .

Hay que observar que cualquier vector que se obtenga como combinación lineal de y , está en el plano que contiene a esos dos vectores; y recíprocamente, todo vector del plano que contiene a y , se puede expresar como combinación lineal de y .

Se dice, en este caso, que el plano de la figura está generado por y

Se pueden hacer combinaciones lineales, no sólo de dos, sino también de tres ó más vectores en el espacio.

Por ejemplo, es una combinación lineal de los vectores: , ,

Realizando las operaciones, se obtiene:

Es decir, , donde , y

Independencia lineal

Si se tienen dos vectores en , y , hay dos posibilidades para sus posiciones relativas:

1. y están sobre la misma recta (son colineales).

2. y están sobre rectas distintas.

En el caso (1) se dice que y son linealmente dependientes, y eso significa que existe tal que o existe tal que .

En el caso (2) se dice que y son linealmente independientes. Algebraicamente, eso se traduce en que para todo número real y , para todo número real . Otra manera de expresar algebraicamente la independencia lineal de y es la siguiente: Los únicos números reales y que hacen verdadera la igualdad:

.

Aquí

son y

Por ejemplo, los vectores y son independientes, pues , para todo número real y para todo número real . Esto se comprueba al efectuar los productos :

y

Por otra parte, si existieran números , tales que

o sea,

Se tendría:

Eso implicaría:

Como , entonces la última ecuación implica que y por lo tanto , es decir, los únicos números y que satisfacen son y .

Si ahora se consideran 3 vectores en el espacio, , y , la noción de dependencia e independencia lineal se extiende a este caso. Geométricamente, pueden ocurrir 4 situaciones:

1.- , y son colineales. Ejemplo:

;

;

2. y son colineales, pero no. Ejemplo:

3. No hay vectores colineales, pero los tres están en un mismo plano. Ejemplo:

...