Vectores

INTRODUCCIÓN

Las nociones de vectores están implícitamente contenidas en las reglas de composición de las fuerzas y de las velocidades, conocidas hacía el fin del siglo XVII.

Es en relación con la representación geométrica de los números llamados imaginario, como las operaciones vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente realizadas, sin que el concepto de vector este aun claramente definido. Fue mucho más tarde, y gracias al desarrollo de la geometría moderna y de la mecánica, cuando la noción de vector y de operaciones vectoriales se concretó.

Un vector es una magnitud que tiene una dirección y sentido al mismo tiempo y los vectores se representan con segmentos rectilíneos orientados, utilizando los vectores se puede resolver gráficamente cualquier problema relacionado con el movimiento de cualquier objeto bajo la influencia de varias fuerzas.

El alemán Grassman, en 1844, por métodos geométricos introdujo formalmente las bases del cálculo vectorial ( suma, producto escalar y vectorial. El inglés Hamilton, por cálculos algebraicos, llegó a las mismas conclusiones que Grassman; empleó por primera vez los términos escalar y vectorial.

Hacia el final del siglo XIX, el empleo de los vectores se generalizó a toda la física. Bajo la influencia de los ingleses Hamilton Stokes, Maxwell y Heaviside, y del americano Gibbs (quien utilizó la notación del punto para el producto escalar y del x para el producto vectorial), se amplió el cálculo vectorial, introduciendo nociones más complejas, como los operadores vectoriales: gradiente, divergencia y rotacional.

 VECTORES

Un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida por un punto del espacio donde se mide dicha magnitud, además de un módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).

 TIPOS DE VECTORES

a) Vectores equipolentes:

Reciben este nombre todos aquellos vectores que tienen igual módulo o longitud, dirección u orientación y sentido. Por lo tanto, son los vectores que son iguales en sus características.

b) Vectores libres:

Este tipo de vectores son el resultado de la conjunción de los vectores equipolentes. Es decir, es el grupo de ellos. Por lo tanto, tienen un módulo, dirección y sentido similar.

c) Vectores fijos:

Los vectores fijos son un tipo de representación de los vectores libres. Son por lo tanto un conjunto de estos últimos, los cuales se expresan de manera mucho más amplia.

d) Vectores ligados:

Como su nombre lo indica, este tipo de vectores es una consecución lógica de dos o más vectores equipolentes, por lo que todos ellos tienen el mismo módulo, dirección y sentido pero en un plano consecutivo.

e) Vectores opuestos:

Este tipo de vectores, tal y como lo dice su nombre, son aquellos que presentan las mismas características nada más que de forma inversamente proporcional. Esto quiere decir que dichos vectores pueden tener un mismo módulo, dirección y sentido aunque de manera opuesta o contraria.

f) Vectores concurrentes:

Este tipo de vectores tienen el mismo punto de origen, aunque su módulo, dirección y sentido varíe.

 PRODUCTO POR UN ESCALAR

Es una operación binaria definida sobre dos vectores de un mismo espacio euclídeo. El resultado de esta operación es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

SUMA Y RESTA DE VECTORES

La suma y resta de vectores se realiza sumando o restando cada una de las componentes de cada uno y da como resultado otro vector.

V1 = (x1, y1)

V2 = (x2, y2)

V1 + V2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2)

Para sumar dos vectores, los mismos tienen que tener la misma cantidad de componentes.

Ejemplo:

V1 = (1, 4, 2)

V2 = (0, 2, 1)

V1 + V2 = (1, 4, 2) + (0, 2, 1) = (1, 6, 3)

V1 - V2 = (1, 4, 2) - (0, 2, 1) = (1, 2, 1)

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES

Un vector encierra más información que un número, nos da (en el caso de una dimensión) la magnitud, que es un número, y el sentido, si apunta hacia la izquierda o la derecha en el eje x.

¿Cuál es el significado que asociamos a (3,7 )?

Si el número es positivo, como es el caso de 3,7, lo que hace es multiplicar el largo del vector (su magnitud, que es un número) por 3,7, o el número que instalemos delante del vector. El resultado es que la nueva magnitud del vector es el producto de la antigua por el número dado. Si el número es negativo, la operación es idéntica, salvo que el vector cambia su sentido.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CADA VECTOR.

Aunque hay quien no recomienda el uso de gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error,

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