Vectores

VECTORES

En matemáticas, cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo. Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente como segmentos rectilíneos orientados, como B en el diagrama que se muestra a continuación; el punto O es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la misma que la del vector.

VECTORES LIBRES: el conjunto de los vectores equipolentes entre si se llaman vector libre. Es decir los libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

COMPONENTES DE UN VECTOR:

1. La dirección: está determinada por la recta de soporte y puede ser vertical, horizontal e inclinada u oblicua.

2. La orientación o sentido: está determinada por la flecha y puede ser horizontal, hacia la derecha o izquierda, vertical hacia arriba o abajo e inclinada ascendente o descendente hacia la derecha o hacia la izquierda.

3. El punto de aplicación: está determinado por el punto origen del segmento que forma el vector.

4. Longitud o módulo: es el número positivo que representa la longitud del vector.

VECTORES UNITARIOS: tienen de modulo la unidad.

VECTORES EN EL ESPACIO: es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

PUNTOS EN EL ESPACIO R3: (Tridimensional) son la agrupación de ternas ordenadas y recibe el nombre de sistemas de coordenadas rectangulares en el espacio.

Está formado por tres rectas perpendiculares entre sí que conforman los ejes y ojos semiespacios u octantes. (Conjunto de ternas ordenadas x, y, z)

PARA REPRESENTAR UN PUNTO EN EL ESPACIO (R3) SE DEBEN SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS:

1. Para trazar el punto de X se traza una paralela al eje Y.

2. Para trazar el punto Y se traza una paralela sobre el eje X.

3. En la intercepción de estas dos paralelas se traza una paralela al eje Z prolongándose tantas unidades como se indique.

Representación gráfica del punto P (2x, 3y, 4z)

COMPONENTES DE UN VECTOR: son los puntos P= (X, Y, Z) que le corresponden en el espacio V= P (X, Y, Z)

Ejemplo:

Dados los puntos:

P= (-4, 2, 6) y Q= (6, 2, 4) Hallar los componentes del vector PQ:

Dato importante: para hallar los componentes no es más que la diferencia del extremo con el origen.

P = (-2, 1, 3) Q= (3, 1, 2)

PQ= (3- (-2), 1-1, 2-3) → PQ= (5, 0, -1)

Suma de vectores:

a= (a1+ b1, a2+b2, a3+b3)

La suma de:

A= (1, 2, 4) y B= (2, 3, 1)

A+B= (1+2, 2+3, 4+1)

A+B = (3, 5, 5)

Una forma gráfica sencilla para sumar vectores es usando el método del paralelogramo, que consiste en trazar las paralelas a los vectores hasta formar y la suma correspondería a la diagonal que va del origen hasta el vértice más lejano.

La suma de dos vectores en R3 da como resultado otro vector y tiene propiedad asociativa y conmutativa.

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Propiedades de la suma de vectores

Asociativa

+ ( + ) = ( + ) +

Conmutativa

+ = +

Elemento neutro

+ =

Elemento opuesto

+ (− ) =

RESTA DE VECTORES

Lo mismo es aplicable a la resta de vectores: -

El método del paralelogramo se puede deducir otra forma gráfica de sumar y restar vectores que queda clara con el siguiente dibujo.

El método consiste en desplazar el vector B al final del vector A y unir el origen con el final del vector B (el método es similar para la resta de vectores [A -B], sólo debe cambiarse el sentido del vector B a -B y sumar este último al vector A:

La diferencia de la resta de vectores no es más que la suma de A con el opuesto de B, tal que:

a – b = a+ (-b)

Dato importante: nunca olvidemos multiplicar los signos. (+.-) ( - .+)

Dados los vectores:

A = (2, 4, 5) y B= (1, 2, 3)

A-B = A + (-B)

A-B= (2, 4, 5) + (-1, -2, -3)

A-B= (2-1, 4-2, 5-3)

A-B= (1, 2, 2)

Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Ejemplo:

Elemento neutro:

a existe (o), tal que: o + a = a

Es decir un elemento neutro tiene un efecto neutro al ser utilizado en la operación. Al operar cualquier elemento del conjunto con el elemento neutro el resultado es el elemento original.

Elemento opuesto:

a existe (-a), tal que a + (-a) = o

Al sumar un número con su opuesto obtenemos como resultado cero.

El elemento opuesto, es igual el número cambiado de signo.

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

El opuesto de 5 es − 5

(−7) + 7 = 0

El opuesto de −7 es 7

Propiedades

El opuesto del opuesto de un número es el mismo número.

− (−a) = a

La suma de números enteros, racionales, reales y complejos tiene elemento opuesto.

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR:

El producto de un número real λ por un vector u⃗ es otro vector λ u⃗ que tiene:

La misma dirección que u⃗

Su módulo es igual al módulo de u⃗ por el valor absoluto de λ.

|λ u⃗ |=|λ|⋅|u⃗ |

Tiene el mismo sentido que u⃗ si λ>0 y el opuesto si λ<0. De lo que se deduce que si λ=0 o si u⃗ =0⃗ entonces λ u⃗ =0⃗.

Para obtener las componentes del vector λ u⃗ basta multiplicar por λ las componentes de u⃗. Si u⃗ =(x1, y1):

Λ u⃗ =λ⋅(x1, y1)= (λ⋅x1,λ⋅y1)

Ejemplo

Si u⃗ = (−1,3) y λ=3, entonces:

Λ u⃗ =3⋅ (−1,3)= (−3,9)

Propiedades del producto de números reales por un vector:

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