ÁREA DE MATEMÁTICA . PRIMERA INTEGRAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA        ÁLGEBRA II (753)

VICERRECTORADO ACADÉMICO        LAPSO: 2005 − 2

ÁREA DE MATEMÁTICA         FECHA: 22−10−2005

1. PRIMERA INTEGRAL

MODELO DE RESPUESTAS

1. OBJ 1 PTA 1

1. Use el método de Gass-Jordan para determinar la parábola de ecuación y = A x2 + B x + C que pasa por los puntos (1, −3), (−1, 29) y (0, 8).

1. Respuesta

En vista de que la parábola pasa por los puntos tenemos que:

[pic 1]

La matriz asociada al sistema es

[pic 2]

Multiplicando la primera fila por −1 y sumándola a la segunda fila, tenemos

[pic 3]

Multiplicando la segunda fila por −1/2,tenemos

[pic 4]

Multiplicando la segunda fila por −1 y sumándola a la primera fila, tenemos

[pic 5]

Multiplicando la tercera fila por −1 y sumándola a la primera fila, tenemos

[pic 6]

Ahora, escribiendo el sistema en base a la matriz reducida tenemos

A = 5,  B = −16  y   C = 8

1. Así finalmente tenemos la parábola

y = 5x2 −16x +8

OBJ  2  PTA  2  

Demuestre que si A es una matriz invertible, entonces det(A−1) =[pic 7]

1. Respuesta

Como A−1A  = I, tenemos que det(A−1A) = det(I) por lo tanto

se tiene que det(A−1) det(A) = 1.

Puesto que det(A) ≠ 0 la demostración se completa dividiendo por det(A)

det(A−1) =[pic 8].

OBJ  3  PTA  3

1. Determine si el siguiente conjunto es linealmente independiente

S = {(2,−1,0,3,), (1,2,5,−1), (7,−1,5,8)}.

1. Respuesta

Para resolver este problema usaremos la Definición 5 del libro texto, esto es,

β (2,−1,0,3,) + α (1,2,5,−1) + γ(7,−1,5,8) = (0, 0, 0, 0)

(2β, −β, 0, 3β) + (α, 2α, 5α, −α) + (7γ, −γ, 5γ, 8γ) = (0, 0, 0, 0)

de donde se obtiene

2β + α +7γ = 0

−β +2α −γ = 0

5α +5γ = 0

3β −α +8γ = 0.

Este sistema tiene solución α = 1, β = 3 y γ = −1 por lo tanto el conjunto S es linealmente dependiente.

OBJ  4  PTA  4

1. Determine si la transformación T: Pn→Pn+1 dada por T(p(x)) = x p(x) es lineal.

1. Respuesta

Para resolver este problema usaremos la Definición 14 del libro texto, esto es,

Sean p = p(x) = a0 + a1x + …+ anxn  y q = q(x) = b0 + b1x + …+ bnxn  polinomios en Pn.

1. T(p + q) = T (p(x) + q(x)) = x(p(x) + q(x))

= x p(x) + x q(x) = T(p(x)) + T(q(x))

...