Adición en Q

Adición:

La operación que permite calcular la suma de dos números racionales se llama adición. Decimos que la adición en Q es una operación binaria interna porque asocia a cada dos números racionales un número racional. Ejemplo

La expresión [pic 1]

[pic 2]

Propiedades de la adición:

a.-) Propiedad Conmutativa: "El orden de los sumandos no altera la suma" esta propiedad se cumple para cualquiera que sena los números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad conmutativa de la adición.

Ejemplo:

Si [pic 3];

[pic 4]

[pic 5]

b.-) Propiedad Asociativa: la forma como se agrupan los sumandos no altera la suma, esta propiedad se verifica para cualquiera que sea la terna de números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad asociativa de la adición. En general

si [pic 6]representan números racionales cualquiera, entonces

[pic 7]

[pic 8]

=[pic 9]

[pic 10]

=[pic 11]

c.-) Elemento Neutro: Cualquier número racional a/b sumando con cero (0) es igual a a/b. El cero (0) se llama elemento neutro de la adición

[pic 12]

luego la suma de 5/9 y 0 es 5/9

[pic 13] el cero es elemento neutro de la adición de números racionales.

d.-) Elemento simétrico: en general si a/b es un número racional, entonces: a/b + (-a/b) = 0 ya que todo número racional tiene un simétrico u opuesto con respecto a la adición por ejemplo:

[pic 14]

luego la suma de 3/5 y su opuesto –3/5 = 0

Multiplicación de números racionales:

el producto de dos números racionales es un número racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Es decir: [pic 15]ejemplo:

[pic 16]

Propiedades de la Multiplicación en Q:

a.-) Conmutativa: en la multiplicación de números racionales del orden de los factores no altera el producto. Es decir: [pic 17]

ejemplo:

[pic 18][pic 19]

b.-) Asociativa: en la multiplicación de los números racionales la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir:

[pic 20]

ejemplo:

[pic 21]

[pic 22]

luego: [pic 23]

c.-) Elemento neutro: el (1) es el elemento neutro de la multiplicación de números racionales. Es decir a/b · 1 = a/b · 1/1 = a/b

ejemplo:

[pic 24]

d.-) Elemento simétrico: cada número racional, distinto de cero, tiene un simétrico o inverso respecto la multiplicación. Es decir: [pic 25]

ejemplo:

[pic 26]

e.-) Distributividad: al multiplicar un número racional por una suma indicada se obtiene el mismo resultado que si multiplicamos este número por cada sumando, luego sumamos. Es decir: [pic 27]

ejemplo:

 [pic 28]

[pic 29] [pic 30]

= [pic 31] =[pic 32]

= [pic 33]🡨 iguales 🡪 = [pic 34]

[pic 35]

Potenciación de los números racionales:

Es una multiplicación de factores iguales. En los números enteros vimos que la potencia de b elevado a la n, es decir bn, se obtiene multiplicando la base b por si misma tantas veces como lo indica el exponente n, es decir:

[pic 36]

ejemplo: 24 = 2·2·2·2 = 16

Operaciones de las potencias:

• Multiplicación de potencias de igual base: es decir:

[pic 37]

ejemplo:

[pic 38]

• Potencia de un producto, es decir:

[pic 39]

ejemplo:

[pic 40]

• División de potencias de igual base:, es decir:

[pic 41]

ejemplo:

[pic 42]

• Potencia de una potencia, es decir

[pic 43]

ejemplo:

[pic 44]

Teoremas del conjunto de números racionales:

1. [pic 45]

1. [pic 46]

1. [pic 47]

1. [pic 48]

1. [pic 49]

1. [pic 50]

1. [pic 51]

1. [pic 52]

1. [pic 53]

1. [pic 54]

1. bn = b·b·b· . . . · b n veces

1. [pic 55]

1. [pic 56]