Geometría analítica

Nombre del estudiante

Ejercicio sustentado Número

JHON FREDYS PESTAÑA CORDOBA

 3.

Ejercicio 1. La ecuación de la línea recta y sus aplicaciones (resolución de ejercicios y Rectas Paralelas y Rectas perpendiculares)

Los biólogos han observado que en una zona del país la frecuencia de chirridos de grillos de cierta especie está relacionada con la temperatura, y la relación parece ser casi lineal. Un grillo produce 120 chirridos por minuto a 73 °F y 163 chirridos por minuto a 90 °F.

Desarrollo del ejercicio 1: La ecuación de la línea recta y sus aplicaciones (resolución de ejercicios y Rectas Paralelas y Rectas perpendiculares)

1. Encuentre la ecuación lineal que relacione la temperatura t y el número de chirridos por minuto n.

Solución:

1. [pic 2]

 [pic 3]

1. Si los grillos están chirriando a 153 chirridos por minuto, estime la temperatura.

[pic 4]

[pic 5]

1. Los biólogos encontraron en otra zona del país que el comportamiento de la temperatura t con los chirridos n es paralela a la recta del inciso a), y observaron en esta zona que el grillo produce 133 chirridos por minuto a 68 °F. Encuentre la ecuación lineal que relacione la temperatura t y el número de chirridos por minuto n.

Como las  rectas son  paralelas tienen la misma pendiente  y esta la calculamos así:

[pic 6]

Ahora la ecuación de la  recta  para  el punto (133; 68) es: [pic 7]

Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en GeoGebra:

[pic 8]

Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del ejercicio 1: La ecuación de la línea recta y sus aplicaciones (resolución de ejercicios y Rectas Paralelas y Rectas perpendiculares)

1. La ecuación para las variables es:  [pic 9]
2. La temperatura estimada es de : [pic 10]
3. La ecuación paralela  es: [pic 11]

Ejercicio 2. Circunferencia y sus aplicaciones.

Un ingeniero planea la construcción de un baño público en la plaza del pueblo, de tal forma que el punto C, de aguas residuales del baño, se encuentra en el centro de la circunferencia cuya ecuación es: 𝑥2 + 𝑦2 − 13𝑥 + 13𝑦 = 203. Si el punto C debe estar conectado al punto (𝑥, 𝑦) de una tubería que pasa por los puntos 𝐴(−14, 3) y 𝐵(10, 23), ¿Cuáles deben ser las coordenadas de P para que la distancia entre C y la tubería AB sea mínima?

Desarrollo del ejercicio 2: Circunferencia y sus aplicaciones

Sea una circunferencia de ecuación

(x - a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Donde los puntos (a ; b) sean el centro de la circunferencia y r el radio de la misma se puede reordenar la ecuación de la siguiente manera:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Es decir que C es el punto [pic 15]

Asumiendo que la tubería que pasa por los puntos 𝐴(−14, 3) y 𝐵(10, 23), sea una línea recta, la ecuación de la misma sería: y=mx+b

[pic 16]

La ecuación de la recta es:                 [pic 17]

La distancia entre P(x;y) y C

[pic 18]

[pic 19]

Para que la distancia de esta sea mínima se tiene que el valor de C-P(x;y) sea mínima se tiene que dar que  sea mínima. Para hallar este valor de forma analítica se tiene que calcular su derivada  y hallar su valor para f(x)= 0 y ver para que lado el valor es negativo[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Para el punto     es:[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Para valores menores a 39/34 la  f`(x) es menor a 0 y para valores mayores a este es mayor a 0, esto implica que la función f(x) tiene un valor mínimo a x= 39/34 , es decir que el punto más cercano a C es en x= 39/34. Para x= 39/34 el valor en y de la recta será:

[pic 27]

Por lo tanto el punto P(x,y) será:
[pic 28]

Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en GeoGebra:

[pic 29]

Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del ejercicio 2: Circunferencia y sus aplicaciones

las coordenadas de P para que la distancia entre C y la tubería AB sea mínima son :
[pic 30]