GEOMETRÍA ANALÍTICA LA ELIPSE

GEOMETRÍA ANALÍTICAV7LA ELIPSE

CONTENIDOS:

1. Introducción
2. Objetivo
3. Definición y construcción
4. Ecuación de la elipse en su forma ordinaria
5. Ecuación con centro en (h, k)
6. Propiedades de la elipse
7. Ecuación general de una elipse
8. Desarrollo de proyecto
9. Conclusiones
10. Bibliografía

1.INTRODUCCIÓN

El presente trabajo da a conocer el tema de “la elipse”, el cual busca presentar su definición, los elementos que este contiene, las formas de graficarlo, las diferentes ecuaciones que desprenden de una elipse, propiedades, bases de la geometría analítica, etc; para así poder dar un aporte a los conocimientos teóricos de los diferentes estudiantes y su aplicación en un proyecto practico que les permita desarrollar lo aprendido.

2.OBJETIVO:

El alumno desarrollará las habilidades necesarias y adquirirá los conocimientos fundamentales que le permitan relacionar objetos con los métodos algebraicos, analíticos y geométricos de las elipses, de tal forma que sea capaz de representar, resolver e interpretar analíticamente problemas geométricos relacionados, cumpliendo con los conocimientos esenciales de la asignatura.

LA ELIPSE

[pic 1]

3.Definiciones y construcción

Sección oblicua de un cilindro circular o bien una sección cónica.

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos.

[pic 2]

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Los puntos fijos reciben el nombre de focos (F1 y F2), estos son los puntos clave para formar la elipse. El segmento que pasa por los focos es conocido como eje focal (FF), el punto medio de este segmento se conoce como el centro (C). El segmento X que intersecta a la figura en los puntos V1 y V2 llevan el nombre de vértices, la acotación entre estos puntos es el eje mayor de la elipse (VV). La recta Y que pasa por el centro e intersecta a la elipse dando los puntos E1 y E2 es denominada como eje menor (EE).  La cuerda de una elipse es aquella que pasa por 2 puntos diferentes del perímetro (BB), particularmente cuando esta pasa por uno de los focos se llama cuerda focal (AA), y si cruza de manera perpendicular al eje X es el lado recto (LL). Una cuerda que pasa por el centro es nombrada como diámetro (DD). Si P es un punto cualquiera dela elipse, los segmentos F1P y F2P que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores de P.

4.Ecuación de la elipse en su forma ordinaria

Obtendremos la ecuación de una elipse con centro en el origen de un plano cartesiano y tal que su eje mayor esté en el eje X. Sea c la distancia que separa al centro de los focos y sea 2a la suma de las distancias que separa un punto de le elipse de los focos. Las coordenadas de los focos serán (c, O) y (- c, O), respectivamente, siendo c una constante positiva y por definición

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En donde a es una constante positiva mayor que c

O bien aplicando la siguiente condición geométrica:

La distancia d entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

está dada por la fórmula

[pic 22]

Obtenemos:

[pic 23]

Por lo tanto, está expresada analíticamente por la ecuación

[pic 24]

Transponiendo el segundo radical, elevando al cuadrado, simplificando y agrupando los términos semejantes, obtenemos:

[pic 25]

Elevando al cuadrado nuevamente, simplificando y agrupando los términos variables en el primer miembro, tenemos:

(1)[pic 26]

Puesto que F1P +F2P (=2a) es mayor que F1F2 (=2c), a es mayor que c y a2-c2 es positivo que

puede ser reemplazado por el número positivo b2, es decir

[pic 27]

Si en (1) remplazamos a2 - c2 por b2, obtenemos

[pic 28]

Y dividiendo por a2 b2, se transforma en

[pic 29]

Así, obtenemos la forma ordinaria de la ecuación de la elipse o ecuación canónica.

Sabiendo que la ecuación anterior corresponde a una elipse que se encuentra en la posición I. Cuando se le gira a 90o y el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean

(0 , c) y (0 , - c) , se dice que está en la posición II. Usando el primer teorema de sustitución su ecuación es

[pic 30]

Gráficamente se representarían de la siguiente manera:

[pic 31]

5.Ecuaciones con centro en (h, k)

Debido al segundo teorema de sustitución, las ecuaciones de los eclipses con centro en (h, k), que corresponden a las ecuaciones anteriores, son respectivamente

[pic 32]

HORIZONTAL

[pic 33]

VERTICAL

6.Algunas propiedades de la elipse

[pic 34][pic 35]

Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje menor, y a, b y c están ligados por la relación a2= b2 + c2  

[pic 36]

La ecuación muestra que la curva intersecta al eje x en los puntos (+- a, 0) y al eje y en

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