GEOMETRIA ANALITICA

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA [pic 1]

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

VICEMINISTERIO DE EDUCACIÓN PARA LA DEFENSA

DE LA FUERZA ARMADA (UNEFA)

NÚCLEO CARABOBO- EXTENSIÓN BEJUMA

GEOMETRÍA ANALITICA

18 de Mayo del 2020

INTRODUCCIÓN

          La Geometría Analítica nace con el objeto de resolver problemas geométricos mediante el uso de las herramientas del álgebra y del análisis. La aplicación del cálculo a la geometría para el estudio de las propiedades de las figuras y la solución de los problemas que de ellas se derivan, fue empleado por los matemáticos desde los tiempos más remotos, pero sólo para determinar longitudes, áreas y volúmenes. Arquímedes hizo uso de razonamientos muy ingeniosos que relacionaban las figuras geométricas con operaciones numéricas, llegando a desarrollar elementos precursores49 del cálculo infinitesimal. Pero solo con el desarrollo del álgebra se abre la posibilidad de relacionar de modo eficaz la geometría con el álgebra. La búsqueda sistemática de las relaciones entre la geometría y el álgebra se atribuye a Descartes, quien comparte con Fermat la fama de ser los creadores de la Geometría Analítica. La geometría analítica impulsada por el matemático Euclides.

Dentro de la Geometría Analítica existen varios temas de gran interés, pero para poder comprender la mayoría de ellos es de vital importancia conocer las bases o principios que fundamentan esta área. Algunos de ellos serán los temas tratados en la presente investigación relacionados con la Geometría Analítica del Espacio.

GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO

1. Sistemas de Coordenadas Rectangulares en el Espacio.

[pic 2]       Las coordenadas rectangulares son un sistema de coordenadas formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen, en el plano las coordenadas cartesianas x e y se denominan respectivamente abcisa y ordenada. Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen O cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.[pic 3]

[pic 4]

       En el espacio, la posición de un punto en coordenadas, vendrá dada por un trío ordenado de números que nos indicarán los valores de x, y y z, en ese orden:

[pic 5]

[pic 6]       Los planos de referencia XY (z=0) XZ (y=0) e YZ (x=0) dividen el espacio en 8 octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian de positivo a negativo según sean los valores de las tres coordenadas.

[pic 7]

2.     Distancia entre dos puntos en R3.

        El Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.

        Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.

       Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x₂ – x₁).

        Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y1 - y2)

        Para R3: Sean (a,b,c) e (x,y,z) dos puntos de R3, se define la distancia de (a,b,c) a (x,y,z) como:

d[(a,b,c), (x,y,z)]=[pic 8]

=√(x – a)² + (y – b)² + (z – c)²

Ejemplo:

1. La distancia entre los puntos (1,1,1) y (1,2,3) es √5:

d[(1, 1 , 1), (1, 2, 3)]=[pic 9]

=√0² + 1² + 2²[pic 10]

=√5

b.  Calcular la distancia entre los puntos (1, 2, 4) y (4, 2, 1) del espacio.

- Aplicamos la fórmula:

d[(1, 2 , 4), (4, 2, 1)]=[pic 11]

=√3² + 0² + (-3)²=[pic 12][pic 13]

=√9 + 9 =√18[pic 14][pic 15]

=√2 . 3² =3√2       [pic 16]

3.      Punto de División de un Segmento en R3.

        Si P1 (x1, y1, z1) y P2 (x2, y2, z2) son los segmentos de un extremo dirigido P1 P2, las coordenadas (x, y, z) de un punto P que divide a este segmento en la razón: R = P1P/PP2 son:[pic 17][pic 18][pic 19]

Ejemplo

P1P= R = z - z₁              z - z₁ = R (z₂ - z)    z - z₁ = R z₂ - R z

PP2                       z₂ - z[pic 20]

z(1+ R)= z₁ + R z₂, finalmente    z = z₁ + R z₂

                                                     1 + R 

[pic 21]

4.     Cosenos directores de una recta en el Espacio.

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