Geometría Analítica

[pic 1][pic 2]

[pic 3]

 TEMA: CIRCUNFERENCIA

SUBTEMA: ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE TRES PUNTOS

1. Hallar la ecuación de la circunferencia al triangulo cuyos vértices son P1 (-1, 1); P2 (3, 5);           P3 (5, -3).

SOLUCION:

Construcción de las mediatrices L1 y L2, tomando los lados de entonces: [pic 4]

Obtención de los puntos medios

[pic 5]

[pic 6]

Obtención de las pendientes por medio de la ecuación de la pendiente entre dos puntos la cual está dada por  , entonces: [pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Una vez obtenidos los puntos y las pendientes, por medio de la ecuación punto-pendiente  obtenemos las rectas correspondientes:[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

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[pic 19]

[pic 20]

Resolviendo el sistema de ecuaciones con L1 Y L2 para la obtención del centro de la circunferencia

[pic 21]

[pic 22]

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[pic 25]

Sustituyendo x en L1:

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

La solución común de las dos ecuaciones se encuentra en x=19/3 y y=25/3, de manera que las coordenadas del centro son c[pic 31]

[pic 32]Por medio del teorema de la circunferencia podemos obtener el radio utilizando un punto dado y el centro, respectivamente.

[pic 33]

Despejando a r de (1) nos queda de la siguiente manera:

[pic 34]

Sustituyendo el punto 1 (P1) en (2), nos queda:

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Una vez obtenido el radio de la circunferencia y el centro respectivamente, entonces sustituimos en (1) el valor de r , por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

[pic 40]

Hallar la ecuación de la circunferencia al triangulo cuyos vértices son P1 (-6,4); P2 (7, 7);                P3 (2, -6).

SOLUCION:

Construcción de las mediatrices L1 y L2, tomando los lados de entonces: [pic 41]

Obtención de los puntos medios:

[pic 42]

[pic 43]

Obtención de las pendientes por medio de la ecuación de la pendiente entre dos puntos la cual está dada por  , entonces: [pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

Una vez obtenidos los puntos y las pendientes, por medio de la ecuación punto-pendiente  obtenemos las rectas correspondientes:[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

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Resolviendo el sistema de ecuaciones con L1 Y L2 para la obtención del centro de la circunferencia

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

Sustituyendo y en L1:

[pic 66]

[pic 67]

La solución común de las dos ecuaciones se encuentra en  y , de manera que las coordenadas del centro son c[pic 68][pic 69][pic 70]

Por medio del teorema de la circunferencia podemos obtener el radio utilizando un punto dado y el centro, respectivamente.

[pic 71]

Despejando a r de (1) nos queda de la siguiente manera:

[pic 72]

Sustituyendo el punto 1 (P1) en (2), nos queda:

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

Una vez obtenido el radio de la circunferencia y el centro respectivamente, entonces sustituimos en (1) el valor de r , por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

[pic 78]

[pic 79]

Hallar la ecuación de la circunferencia al triangulo cuyos vértices son P1 (-2, 3); P2 (5, 0);            P3 (1, -2).

SOLUCION:

Construcción de las mediatrices L1 y L2, tomando los lados de entonces: [pic 80]

Obtención de los puntos medios:

[pic 81]

[pic 82]

Obtención de las pendientes por medio de la ecuación de la pendiente entre dos puntos la cual está dada por  , entonces: [pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

Una vez obtenidos los puntos y las pendientes, por medio de la ecuación punto-pendiente  obtenemos las rectas correspondientes:[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

Resolviendo el sistema de ecuaciones con L1 Y L2 para la obtención del centro de la circunferencia

[pic 98]

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

[pic 104]

Sustituyendo y en L1:

[pic 105]

[pic 106]

La solución común de las dos ecuaciones se encuentra en  y , de manera que las coordenadas del centro son c[pic 107][pic 108][pic 109]

Por medio del teorema de la circunferencia podemos obtener el radio utilizando un punto dado y el centro, respectivamente.

[pic 110]

Despejando a r de (1) nos queda de la siguiente manera:

[pic 111]

Sustituyendo el punto 1 (P1) en (2), nos queda:

[pic 112]

[pic 113]

[pic 114]

[pic 115]

[pic 116]

Una vez obtenido el radio de la circunferencia y el centro respectivamente, entonces sustituimos en (1) el valor de r, por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

[pic 117]

[pic 118]

TEMA: CIRCUNFERENCIA

SUBTEMA: FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

Reducir la ecuación siguiente a la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia, determinar el centro y radio. 2x^2 + 2y^2 - 10x + 6y + 15 = 0 Grafique los resultados.

SOLUCION:

[pic 119]

Dividiendo por el coeficiente de  en (1)[pic 120]

[pic 121]

Completando los binomios cuadrados perfectos en (2), entonces, se tiene:

[pic 122]

[pic 123]

[pic 124]

[pic 125]

[pic 126]

[pic 127]

Por tanto, la ecuación de la circunferencia resultante tendrá el centro en  y el valor del radio será ; de esta manera la ecuación se expresa como:[pic 128][pic 129]

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