ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

PLANO

Ing. Griselda Ballerini

2006

Ecuación cartesiana del plano: Dado un vector normal al plano ( n=(a,b,c)), y un punto [pic 1]

Po(xo,yo,zo) perteneciente al mismo,  se cumple que para todo P(x,y,z) perteneciente a π  y P distinto de Po resulta:

                                                                     PoP ⊥ n  ⇒  (x-xo,y-yo,z-zo) . (a,b,c) = 0,[pic 2][pic 3][pic 4]

                 z                                                  efectuando el producto escalar[pic 5]

              n=(a,b,c)        [pic 6][pic 7]

                                                                               (x-xo) a + (y-yo) b + (z-zo) c = 0                                                                                        [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

            π          Po              P                          distribuyendo y ordenando:                

                                                                               a x + b y + c z + (- a xo - b yo - c zo) = 0                                                             

                                                        y                 llamando d a la expresión entre paréntesis

                                                                   se obtiene:

      x                                                            

[pic 13][pic 14][pic 15]

                               π)  a x + b y + c z + d = 0      ecuación cartesiana del plano π[pic 16]

donde (a,b,c) son las componentes de un vector normal al plano

           d término independiente.

Ecuación lineal en tres variables: Es toda expresión de la forma a x + b y + c z + d = 0 con a, b, c y d no simultáneamente nulas.

Este tipo de ecuaciones representa siempre un plano y recíprocamente, todo plano está representado por una ecuación lineal en tres variables.

Sea a x + b y + c z + d = 0  (1) una ecuación lineal en tres variables y P1(x1,y1,z1) una solución de la misma, entonces a x1 + b y1 + c z1 + d = 0  (2), eliminando d entre (1) y (2) tenemos

              a (x-x1) + b (y-y1) + c (z-z1) = 0, expresión que indica el producto escalar nulo entre dos vectores: uno fijo (a,b,c) y otro variable (x-x1,y-y1,z-z1), que son perpendiculares, entonces, el conjunto de vectores variables determina un plano del cual

n = (a,b,c) es un vector normal.[pic 17]

Análisis de la ecuación lineal en tres variables:

Partiendo de a x+ b y + c z + d = 0   (1)  que sabemos representa un plano, veremos las distintas situaciones que se presentan cuando uno o más coeficientes son nulos.

a) a = 0,     b,c y d no nulos

 en este caso n = (0,b,c) está incluido en el plano yz (*)[pic 18]

                    n ⊥ π 1 (**)[pic 19]

de (*) y (**)  π1  es paralelo al eje x y su ecuación es : π1)  b y + c z + d = 0

                         z[pic 20]

                                                                                           [pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

                                n =(0,b,c)                             [pic 29][pic 30]

           π1                     y         

    x

En forma análoga:  b = 0 , a, c y d no nulos ⇒ plano paralelo al eje y.

                                π2) a x + c z + d = 0  , n=(a,0,c) [pic 31]

                        z[pic 32]

[pic 33][pic 34][pic 35]

       n=(a,0,c)              π2           [pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

                                                            y

          x

                               c = 0 ,  a , b y d no nulos  ⇒ plano paralelo al eje z.

                         π3) a x + b y + d = 0 , n=(a,b,0)[pic 40]

                               z                                                                                  [pic 41]

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