Números complejos y raíz cuadrada

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Los números complejos

Introducción del sistema de los números complejos

El sistema de los números complejos es una extensión de los números reales, es decir, los números reales son un subcobjunto de los números complejos. Sabemos que ecuaciones del tipo  tiene siempre solución en  para todo número natural . El problema se presenta cuando , ya que este tipo de ecuaciones no tienen solución en  a menos que  sea impar. Entonces deseamos construir un campo donde este tipo de ecuaciones tenga solución para toda .[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

A este campo lo denotaremos como  que contenga a  como subcampo.[pic 13][pic 14]

Observando que dado , si , entonces , donde , basta contruir un campo que contenga a los números reales como subcampo y que contenga un elemento  tal que o , ya que  tendría como solución a , donde  es solución de , es decir, .[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Resumiendo lo anterior, queremos construir un campo  que contenga al campo  y que contenga un elemento  tal que .[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

Partamos del hecho de que este campo existe y posee las propiedades deseadas (contiene a  y contiene un elemento  tal que ). Primero, como cada número real  deberá ser elemento de , o más formalmente, identificado con un elemento de , denotando a este identificado de  con la misma letra,  deberá contener también a los elementos de la forma , con  y por lo tanto deberá contener a los elementos de lo forma  para cualesquiera . La suma y producto, por ser  campo, satisfacen[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

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y

.[pic 44]

Además, si , entonces  y esto implica  y por lo tanto , ya que si fuera , que es , entonces sería  y de esto , lo que no puede ser, pues  y que sabemos que el cuadrado de un número real siempre es mayor o igual a cero.[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

Concluimos entonces que  si y solo si  y . Teniendo en cuenta esto último, cada elemento  estará determinado entonces por la pareja ordenada . Es natural entonces introducir como nuestro modelo a , en donde la suma y el producto en este conjunto deberán definirse de acuerdo a nuestros objetivos, sabiendo que  hará el papel de . Considerando la discusión anterior podemos dar una definición formal de los números complejos.[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

Definición: El sistema de los números complejos  es el conjunto de las parejas ordenadas de números reales , donde la suma y el producto están dadas por[pic 62][pic 63]

 y .[pic 64][pic 65]

Definición: Dado un número complejo , su parte real denotada por  y su parte imaginaria denotada por  son  e , respectivamente.[pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]

Nota: Al número complejo  lo denotaremos simplemente por , al número complejo , lo denotaremos simplemente por  y al número complejo , por .[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]

Ejemplos:

1. Sea , podemos notar que  denota la parte imaginaria y que  denota la parte real.[pic 77][pic 78][pic 79]
2. Sea , podemos notar que  denota la parte imaginaria y que al ser  la parte real, esta se omite y se deja solamente expresada la parte imaginaria.[pic 80][pic 81][pic 82]
3. Sea , podemos notar que  denota la parte real y que al ser  la parte imaginaria, esta se omite y se deja solamente expresada la parte real. [pic 83][pic 84][pic 85]
4. Sea  y , la suma y el producto son:  y .[pic 86][pic 87][pic 88][pic 89]

Raíz cuadrada de números complejos

Es natural pensar en raíces cuadradas de los números complejos, éstas se abordarán en el siguiente Teorema

Teorema: Todos los números complejos tienen raíces cuadradas complejas.

Demostración: Si  entonces  si y solo si[pic 90][pic 91]

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Así que .[pic 94]

Así que , y como ya sabemos que  entonces [pic 95][pic 96]

 y [pic 97][pic 98]

Como  para todas , estas dos cantidades no son negativas y tienen raiz cuadrada real, así que  y [pic 99][pic 100][pic 101][pic 102]

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