Ejercicios Unidad 2. Variables aleatorias y distribuciones

Ejercicios Unidad 2. Variables aleatorias y distribuciones.

1. Un grupo de partes moldeadas se clasifica de acuerdo con su longitud, de la siguiente manera:

        Longitud (milímetros)                        4.9        5.0        5.1        5.2        5.3        5.4        5.5        5.6

        Número de partes                        0        3        10        25        40        18        16        2

1. Si la variable aleatoria X es la longitud de una parte moldeada seleccionada al azar, determine la función de probabilidad de X.
2. ¿Cuál es el valor de P(X5.1)?[pic 1]
3. ¿Cuál es el valor de P(4.9X5.3)?[pic 2][pic 3]

2. La mayor cantidad de quejas de propietarios de automóviles con dos años de uso se debe al funcionamiento del sistema eléctrico. Suponga que un cuestionario anual se manda a propietarios de más de 300 modelos y marcas de automóvil, y resulta que el 10% de los propietarios de automóviles de dos años de antigüedad han tenido problemas con los componentes del sistema eléctrico, incluyendo el motor de arranque, el alternador, la batería, los interruptores, los instrumentos, el cableado, las luces y el radio.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 12 propietarios de automóviles con dos años de uso haya exactamente dos con problemas en el sistema eléctrico?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 12 propietarios haya cuando menos dos con problemas en el sistema eléctrico?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 20 propietarios haya cuando menos uno con problemas en el sistema eléctrico?

3. La empresa National Oil Company se dedica a operaciones de perforación exploratoria en el sureste de Estados Unidos. Para financiar su funcionamiento, los inversionistas forman sociedades que proporcionan financiamiento para perforar una cantidad fija de pozos petroleros. Cada pozo perforado se clasifica como productivo o no productivo. La experiencia en este tipo de exploraciones indica que el 15% de los pozos perforados fueron productivos. Una sociedad recién formada proporciona el financiamiento sin realizar perforaciones exploratorias en 12 lugares.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que los 12 pozos sean productivos?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que los 12 pozos sean improductivos?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente un pozo sea productivo?
4. Para hacer rentable a la sociedad, cuando menos tres de los pozos de exploración deben ser productivos, ¿Cuál es la probabilidad de que el negocio sea rentable?

1. La probabilidad de que un estudiante que entra a la universidad se titule es 0.40. Determinar la probabilidad de que de 5 estudiantes elegidos al azar:

1. Ninguno se titule                        c) Por lo menos uno se titule        
2. Uno se titule                        d) Todos se titulen

1. Un vendedor de seguros vende pólizas a 5 hombres, todos de la misma edad y con buena salud. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un hombre de esta edad esté vivo en 30 años es 2/3. Encontrar la probabilidad de que en 30 años estén vivos:

1. Los 5 hombres                                        c) Sólo 2 de estos hombres
2. Por lo menos 3 de estos hombres                d) Por lo menos 1 de ellos

6. Durante las horas de tráfico intenso los accidentes se presentan en una zona urbana con una frecuencia de dos por hora. El periodo matutino de tráfico intenso dura una hora y 30 minutos, y el vespertino dos horas.

1. En determinado día, ¿cuál es la probabilidad de que no haya accidentes durante el periodo matutino de tráfico intenso?
2. ¿Cuál es la probabilidad de dos accidentes durante el periodo vespertino de tráfico intenso?
3. ¿Cuál es la probabilidad de cuatro o más accidentes durante el periodo matutino de tráfico intenso?
4. En determinado día, ¿cuál es la probabilidad de que no haya accidentes durante ambos periodos de tráfico intenso, el matutino y el vespertino?

7. La Compañía Arritmos ha observado que sus calculadoras fallan y necesitan remplazarlas con una frecuencia de tres cada 25 días.

1. ¿Cuál es la cantidad esperada de calculadoras que fallan en 30 días?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen al menos dos calculadoras en 50 días?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen exactamente tres en 10 días?

1. Los pasajeros de las aerolíneas llegan al azar e independientemente a la sección de documentación en una gran aeropuerto internacional. La frecuencia promedio de llegadas es de 10 pasajeros por minuto.

1. ¿Cuál es la probabilidad de no llegadas en un intervalo de un minuto?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen tres pasajeros o menos en un intervalo de un minuto?
3. ¿Cuál es la probabilidad de no llegadas en un periodo de 15 segundos?
4. ¿Cuál es la probabilidad de al menos una llegada en un periodo de 15 segundos?

1. El número de baches en una sección de una carretera estatal que requiere reparación urgente, puede modelarse con una distribución de Poisson que tiene una media de dos baches por milla.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya baches qué reparar en un tramo de cinco millas?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo de media milla?
3. Si el número de baches está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y algunas secciones de ésta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, ¿es válido decir que el número de baches que es necesario reparar tiene una distribución de Poisson? Explique su respuesta.

1. El número de fallas de un instrumento de prueba debidas a las partículas contaminantes de un producto, es una variable aleatoria con media 0.02 fallas por hora.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento no falle en una jornada de ocho horas?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que se presente al menos una falla en un periodo de 24 horas?

1. La posibilidad de encontrar luz verde en el semáforo de un crucero muy concurrido en la mañana es de 20%. Suponga que cada mañana representa un ensayo independiente.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera mañana en que la luz del semáforo se encuentre en verde sea la cuarta mañana desde el inicio del experimento?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la luz del semáforo  no se encuentre en verde durante diez mañanas consecutivas?

1. La probabilidad de un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto privado es 0.7. Encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen:

1. En el tercer intento                b) Antes del cuarto intento

1. Una prueba de resistencia de soldadura consiste en poner carga en uniones soldadas hasta que se dé una ruptura. Para cierto tipo de soldadura, 80% de las rupturas ocurre en la propia soldadura, mientras que otro 20% se da en las vigas. Se prueba cierto número de soldaduras.

1. Sea X el número de pruebas, incluyendo la primera prueba que da como resultado la ruptura de la viga. ¿Cuál es la distribución de X?
2. Encuentre P(X=3)
3. Sea X el número de pruebas hechas incluyendo la primera ruptura de la viga. Determine la media y la varianza de X.

1. Suponga que cada una de las llamadas que hace una persona a una oficina gubernamental tiene una probabilidad de 0.02 de que la línea no esté ocupada. Suponga que las llamadas son independientes.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera llamada que entre sea la décima que realiza la persona?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario llamar más de cinco veces para hallar desocupada la línea?
3. ¿Cuál es el número promedio de llamadas que deben hacerse para hallar desocupada la línea?

1. En un edificio de oficinas, el tiempo de espera para un elevador se distribuye uniformemente entre cero y cinco minutos.

1. ¿Cuál es la función  de densidad de probabilidad para esta distribución uniforme?[pic 4]
2. ¿Cuál es la probabilidad de esperar más de 3.5 minutos?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que el elevador llegue en los primeros 45 segundos?
4. ¿Cuál es la probabilidad de un tiempo de espera entre uno y tres minutos?
5. ¿Cuál es el tiempo de espera considerado?

1. El tiempo necesario para terminar determinada operación de ensamblado se distribuye uniformemente entre 30 y 40 minutos.

1. ¿Cuál es la ecuación matemática de la función de densidad de probabilidad?
2. Calcule la probabilidad de que la operación de ensamblado requiera más de 38 minutos.
3. Si la gerencia desea establecer un tiempo estándar para esta operación, ¿qué tiempo debe especificar para que el 70% de las veces el armado se termine dentro de esa especificación?
4. Determine el valor esperado y la desviación estándar de tiempo de ensamblado.

1. El espesor del borde de un componente de una aeronave está distribuido de manera uniforme entre 0.95 y 1.05 milímetros.

1. Calcule la proporción de bordes cuyo espesor es mayor que 1.02 milímetros
2. ¿Qué espesor está excedido por el 90% de los bordes?
3. Calcule la media y la varianza del espesor del borde  

1. La vida promedio de un televisor es de 12 años. La vida de los productos sigue, con frecuencia, una distribución exponencial de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que la vida de un televisor sea:  

        a) de 6 años o menos                 b) de 15 años o más?                 c) entre 5 y 10 años?

1.  El tiempo que transcurre entre las llamadas a una empresa de artículos para plomería tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio entre llamadas de 15 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de:

1. que no haya llamadas en un lapso de 30 minutos?
2. recibir al menos una llamada en un intervalo de 10 minutos?
3. recibir la primera llamada entre cinco y 10 minutos después de haber abierto la empresa?

1. La distancia que hay entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución exponencial con media de 5 millas.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas?
3. ¿Cuál es la desviación estándar de la distancia entre grietas?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera grieta se encuentre a una distancia entre 12 y 15 millas a partir del punto de inicio de inspección de la autopista?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya grietas en dos tramos de cinco millas separados entre sí?
6. Dado que no se encuentran grietas en el primer tramo de cinco millas, ¿cuál es la probabilidad de que no las haya en las siguientes 10 millas de la autopista?

1. Se supone que el ancho de una herramienta utilizada en la fabricación de semiconductores tiene una distribución normal con media 0.5 micrómetros y desviación estándar de 0.05 micrómetros.  

        a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de la herramienta sea mayor que 0.62 micrómetros?

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