LEGADO DE LAS ECUACIONES

EL LEGADO HISTÓRICO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.

CONSIDERACIONES (AUTO) CRÍTICAS

Lo contrario de una verdad no es el error, sino una verdad contraria" Pascal Como se ha repetido tantas veces, el libro de la Naturaleza -según Galileo- está escrito en lenguaje matemático y para explicar un fenómeno es necesario saber leer sus caracteres: puntos, líneas, ... Esto significa que, más que atribuir el movimiento de los objetos "graves" -los que se dirigen al centro de la Tierra una causa, lo que se debe hacer es descubrir la regla que lo regula. Por ello, Galileo, al enunciar su solución al problema de la caída libre, lo hace con una aceleración constante.

LEGADO HISTÓRICO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Ecuaciones que involucran más de dos fluxiones, las cuales en la actualidad conducen a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. En la Teoría de Fluxiones, Newton resuelve dos problemas principales, formulados tanto en términos mecánicos como en términos matemáticos:

1. Determinación de la velocidad del movimiento en un momento de tiempo dado. De otro modo: determinación de la relación entre las fluxiones dada la relación entre los fluentes.

2. Dada la velocidad del movimiento, determinación del espacio recorrido en un tiempo dado. En términos matemáticos: determinación de la relación entre los fluentes dada la relación entre fluxiones. El primer problema, llamado problema directo, representa el problema de la diferenciación implícita de funciones, en el caso general, y obtención de la ecuación diferencial que expresa las leyes del fenómeno. El segundo, el problema inverso, es el problema de la integración de las ecuaciones diferenciales presentadas en su forma más general. En particular, en este problema se trata de la búsqueda de las funciones primitivas. Los enfoques de Newton para la solución de un problema tan general y los procedimientos de su resolución se construyeron paulatinamente. Ante todo, la simple inversión de los resultados de la búsqueda de fluxiones le proporcionó una enorme cantidad de cuadraturas. Con el tiempo, advirtió la necesidad de agregar, en esta inversión, una constante aditiva. Después resultó que la operación de inversión, incluso de ecuaciones comparativamente sencillas como Mx' +Ny' = O,obtenidas en el cálculo de las fluxiones, no siempre era posible y no se obtenía la función original. Newton advirtió esto, en el caso en que M = M(x, y) y N = N(x, y) fueran funciones racionales enteras.

De esta forma la ecuación diferencial de segundo orden se reduce a la ecuación diferencial de primer orden: B'dyjdx + A'y = e_C>xJ eax Xdx. D'Alembert (en 1766) encontró que la solución general de una ecuación lineal no homogénea es igual a la suma de una cierta solución particular y la solución general de la correspondiente ecuación homogénea.

Muchos matemáticos (en particular Clairaut y Euler) siguieron elaborando el método del factor integrante. Así, en los años 1768-1769, Euler investigó la clase de ecuaciones diferenciales que tienen factor integrante de un tipo dado, e intentó extender estas investigaciones a ecuaciones de orden superior. Finalmente, cerraremos esta etapa mencionando las contribuciones de Lagrange, las cuales, al igual que Euler, se situaron hacia el último cuarto del siglo XVIII. Lagrange demostró que las solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, con coeficientes constantes, es de la forma y = C¡y¡ +C2Y2+ . -+cnYn donde Y¡, ... ,Yn son un conjunto de soluciones linealmente independientes y Cl, C2,'" ,Cn son constantes arbitrarias; así mismo, también descubrió en su forma general el "método de variación de parámetros (o constantes)", hacia 1774.

De esta manera, en el siglo XVIII, el trabajo consistía en la solución de ecuaciones particulares específicas. Así mismo, fueron elaboradas las premisas para la creación de las bases para la teoría general, con una serie de conceptos fundamentales, sobre los que hablaremos en el siguiente epígrafe.

lculus apareció impreso, por primera vez, en una memoria de seis páginas de Leibniz, en el Acta Eruditorium de 1684, que contenía una definición de la diferencial y donde dio reglas sencillas para su cálculo en sumas, productos, cocientes, potencias y raíces(2). Leibniz incluyó también pequeñas aplicaciones a problemas de tangentes y puntos críticos. Desafortunadamente, este corto informe contuvo algunos errores, lo que contribuyó a que resultara enigmático a los matemáticos de la época. La base del método de fluxiones de Newton fue publicada primero, más bien impropiamente, como lemas en su Principia de 1687. Aquí encontramos algunas propiedades de límites y direcciones para encontrar "momentos" infinitesimales pequeños de productos, potencias y raíces(3).

Se dice que cuando Huygens, sobre 1690, deseó enseñar el nuevo método, no pudo encontrar un hombre calificado para exponerlo. Newton entre 1669 y 1676 compuso varios tratados sobre los elementos de las fluxiones, pero no aparecieron impresos hasta 1704. John Craig, en 1685 y 1693, publicó dos trabajos, basados en parte sobre el método de Leibniz, pero éstos no fueron entendidos como introducciones y presentaban, además, dificultades con la lectura, debidas a la foma geométrica en la cual fueron presentados. En el continente, los hermanos Bernoulli fueron pioneros en el nuevo cálculo; precisamente Jean fue quien instruyó a L'Hópital, quien a su vez, preparó a Huygens. Esta fue la atmósfera de entusiasmo que rodeó al nuevo cálculo al cerrar el siglo XVII. El mismo Jean, sobre 1691-1692, preparó dos pequeños libros de textos, pero su publicación fue aplazada, y el que trataba sobre el cálculo integral apareció, finalmente, en 1742, y el cálculo diferencial, casi doscientos

de texto de L'Hópital Analyse des infiniment petits, como introducción a un mundo nuevo en las matemáticas. Ante los creadores del Calculus, el problema de la integración de las ecuaciones diferenciales, en su inicio, se presentaba como parte de un problema más general: el problema inverso del análisis infinitesimal. Naturalmente, la atención, al inicio, se concentraba en las diferentes ecuaciones de primer orden. Su solución se buscaba en forma de funciones algebraicas o trascendentes elementales, con ayuda de métodos más o menos exitosamente elegidos. Para

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