LA PRIMERA DERIVADA Y MONOTONÍA

LA PRIMERA DERIVADA Y MONOTONÍA

La primera derivada f´(x) nos da la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en el punto x. por lo tanto, si f´(x) > 0 entonces la recta tangente asciende hacia la derecha, lo cual sugiere que f es creciente (véase la figura 2). De manera análoga, si f´(x)<0, la recta tangente desciende hacia la derecha, lo cual sugiere que f es decreciente. También podemos observar esto en términos de movimiento a lo largo de una línea.

Por lo regular, este teorema nos permite determinar con precisión en donde una función derivable es creciente y en donde es decreciente. Es cuestión de resolver dos desigualdades.

Ejemplo 1

F´(x)= 2x3 – 3x2 – 12x +7, encuentre en donde f es decreciente y en donde es decreciente.

Empezamos por encontrar la derivada de f

F´(x)= 6x2 – 6x – 12= 6(x+1) (x-2)

Necesitamos determinar en donde

(x+1) (x-2) >0

Y también en donde

(x+1) (x-2) <0

LA SEGUNDA DERIVADA Y CONCAVIDAD

Una función puede crecer y también tener una grafica que oscila mucho (ver grafica 6). Para analizar oscilaciones, necesitamos estudiar como gira la recta tangente cuando nos movemos de izquierda a derecha a lo largo de la grafica. Si la recta tangente gira constantemente en sentido contrario a las manecillas del reloj decimos que la grafica es cóncava hacia arriba (o simplemente cóncava); si la tangente gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj, la grafica es cóncava hacia abajo (o convexa). Ambas definiciones se formulan mejor en términos de funciones y derivadas.

En vista del teorema A, tenemos un criterio sencillo para decidir en donde una curva es cóncava (hacia arriba) y en donde es cóncava hacia abajo (convexa). Basta con terner en mente que la segunda derivada de f es la primera derivada de f´. Por lo tanto que f´ es creciente si f´ es positiva; f´decreciente si f´es negativa.

EJEMPLO 1

En donde f(x) = 1/3 x3 – x2 -3x + 4es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo?

SOLUCIÓN:

F´(x) = x2 – 2x – 3= (x+1) (x-3)

F´(x)= 2x – 2= 2 (x-1)

PUNTOS DE INFLEXIÓN

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesiva hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es

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