Probabilidad

Distribución uniforme

La distribución uniforme es la que corresponde a una variable que toma todos sus valores, x1, x2... , xk, con igual probabilidad; el espacio muestral debe ser finito.

Si la variable tiene k posibles valores, su función de probabilidad sería:

donde k es el parámetro de la distribución (un parámetro es un valor que sirve para determinar la función de probabilidad o densidad de una variable aleatoria)

La media y la varianza de la variable uniforme se calculan por las expresiones:

El histograma de la función toma el aspecto de un rectángulo, por ello, a la distribución uniforme se le suele llamar distribución rectangular.

Distribución binomial

La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes condiciones:

1) El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo.

2) Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la variable binómica o de Bernouilli, es decir, sólo existen dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente como éxito y fracaso.

3) La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q

4) Las pruebas son estadísticamente independientes,

En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de ‚éxitos en las n pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestral estar compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n elementos con reemplazamiento.

La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los parámetros de la distribución.

La manera más fácil de calcular de valor de números combinatorios, como los incluidos en la expresión anterior, es utilizando el triángulo de Tartaglia

La media y la varianza de la variable binomial se calculan como:

Media = μ = n p

Varianza = σ2 = n p q

Gráficamente el aspecto de la distribución depende de que sea o no simétrica Por ejemplo, el caso en que n = 4:

Distribución multinomial

La distribución multinomial es esencialmente igual a la binomial con la única diferencia de que cada prueba tiene más de dos posibles resultados mutuamente excluyentes.

Si tenemos K resultados posibles (Ei , i = 1, ... , K) con probabilidades fijas (pi , i = 1, ... , K), la variable que expresa el número de resultados de cada tipo obtenidos en n pruebas independientes tiene distribución multinomial.

La probabilidad de obtener x1 resultados E1, x2 resultados E2, etc. se representa como:

Los parámetros de la distribución son p1,..., pK y n.

Distribución hipergeométrica

Una variable tiene distribución hipergeométrica si procede de un experimento que cumple las siguientes condiciones:

1) Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazamiento, de un conjunto finito de N objetos.

2) K de los N objetos se pueden clasificar como ‚éxitos y N - K como fracasos.

X cuenta el número de ‚éxitos obtenidos en la muestra. El espacio muestral es el conjunto de los números enteros de 0 a n, ó de 0 a K si K < n.

En este caso, la probabilidad del ‚éxito en pruebas sucesivas no es constante pues depende del resultado de las pruebas anteriores. Por tanto, las pruebas no son independientes entre sí.

La función de probabilidad de la variable hipergeométrica es:

Los parámetros de la distribución son n, N y K.

Los valores de la media y la varianza se calculan según las ecuaciones:

Si n es pequeño, con relación a N (n << N), la probabilidad de un ‚éxito variar muy poco de una prueba a otra, así pues, la variable, en este caso, es esencialmente binomial; en esta situación, N suele ser muy grande y los números combinatorios se vuelven prácticamente inmanejables, así pues, la probabilidades se calculan más cómodamente aproximando por las ecuaciones de una binomial con p = K / N.

La media de la variable aproximada (μ = n p = n (K / N)) es la misma que la de la variable antes de la aproximación; sin embargo, la varianza de la variable binomial es ligeramente superior a la de la hipergeométrica.

el factor por el que difieren ser siempre menor que 1 y tan próximo a 1 como cierto sea que n << N.

El aspecto de la distribución es bastante similar al de la binomial. Como ejemplo, mostramos los casos análogos a los de las binomiales del apartado anterior (p inicial = 0,25 y n = 4)

Distribución de poisson

Una variable de tipo poisson cuenta ‚éxitos (es decir, objetos de un tipo determinado) que ocurren en una región del espacio o del tiempo.

El experimento que la genera debe cumplir las siguientes condiciones:

1. El número de éxitos que ocurren en cada región del tiempo o del espacio es independiente de lo que ocurra en cualquier otro tiempo o espacio disjunto del anterior.

2. La probabilidad de un ‚éxito en un tiempo o espacio pequeño es proporcional al tamaño de este y no depende de lo que ocurra fuera de él.

3. La probabilidad de encontrar uno o más ‚éxitos en una región del tiempo o del espacio tiende a cero a medida que se reducen las dimensiones de la región en estudio.

Como consecuencia de estas condiciones, las variables Poisson típicas son variables en las que se cuentan sucesos raros.

La función de probabilidad de una variable Poisson es:

El parámetro de la distribución es λ que es igual a la media y a la varianza de la variable.

Esta característica puede servirnos para identificar a una variable Poisson en casos en que se presenten serias dificultades para verificar los postulados de definición.

La distribución de Poisson se puede considerar como el límite al que tiende la distribución binomial cuando n tiende a y p tiende a 0, siendo np constante (y menor que 7); en esta situación sería difícil calcular probabilidades en una variable binomial y, por tanto, se utiliza una aproximación a través de una variable Poisson

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