Act 4 Probabilidad

EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y ESPACIO MUESTRAL.

En la teoría de probabilidades se habla a menudo de experimentos aleatorios y de fenómenos aleatorios. La palabra aleatorio proviene del vocablo latino alea, el cual significa suerte o azar. Un fenómeno aleatorio, es por tanto, aquél cuyo resultado está fuera de control y que depende del azar.

Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.

Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.

ESPACIO MUESTRAL

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos porS. A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

Suceso o Evento de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral S. Los elementos de S se llaman sucesos individuales o sucesos elementales. También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio S, suceso seguro.

Si S tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n.

Operaciones con sucesos o evento

Ya que los eventos o sucesos son subconjuntos, entonces es posible usar las operaciones básicas de conjuntos<!--[endif]-->, tales como uniones, intersecciones y complementos, para formar otros eventos de interés, denominados eventos o sucesos compuestos.

Dados dos sucesos, A y B, se llaman

Unión: Es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.

Intersección: Es el suceso formado por todos los elemento que son, a la vez de a y de B

Diferencia: es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Complemento de A: Es el suceo formado por todos los elementos de S que no son elementos de A.

Los diagramas de Venn suelen emplearse para representar un espacio muestral y sus eventos

Un diagrama de árbol es una especie de mapa de acontecimientos en donde se describen los eventos básicos que ocurren en un experimento aleatorio. Este gráfico está formado por segmentos de rectas y puntos. Los eventos que ocurren se denotan por puntos. Este diagrama puede ser dibujado de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo, no hay restricciones para ello.

El espacio muestral que representa el experimento: Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

Su respuesta :

S = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 }

correcto

Considere el experimento aleatorio de seleccionar tres alumnos en un grupo, con el fin de observar si trabajan (A) o no trabajan (B). Cual de las siguientes proposiciones es FALSA

Su respuesta :

Exactamente uno no trabaja { (AAB), (ABA), (BAA), (BBB) }

Correcto!!!Esta proposicion es falsa

En el cálculo de las probabilidades se debe poder determinar el número de veces que ocurre un evento o suceso determinado. Es muchas situaciones de importancia práctica es imposible contar físicamente el numero de ocurrencias de un evento o enumérelos uno a uno se vuelve un procedimiento engorroso. Cuando se esta frente a esta situación es muy útil disponer de un método corto, rápido y eficaz para contar.

A continuación se presentan algunas de estas técnicas, denominadas técnicas de conteo o análisis combinatorio, entre las cuales se tienen: el principio fundamental del conteo, permutaciones, variaciones, combinaciones, la regla del exponente y el diagrama de árbol.

Principio de multiplicación

v\:* {behavior:url(#default#VML);}

o\:* {behavior:url(#default#VML);}

w\:* {behavior:url(#default#VML);}

.shape {behavior:url(#default#VML);}

Si un evento determinado puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, además, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes y así sucesivamente, y si al mismo tiempo cada evento es independiente del otro, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto:

n1 x n2 x n3 x ....

Principio aditivo

Este principio tiene las mismas premisas del principio multiplicativo, pero con la condición no de que los eventos sean independientes sino de que sean mutuamente excluyentes, es decir que cada uno ocurra sin la necesidad de que otro lo haga. El número total de maneras en las que pueden realizarse los eventos es la adición:

n1 + n2 + n3 +....

PERMUTACIONES Y VARIACIONES

El número de permutaciones (acomodos u ordenaciones) de n elementos distintos, tomados todos de una vez, se denota por n!

El número de permutaciones de n elementos tomados r a la vez se denota como <V:SHAPE

id="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" style='width:18pt;height:18pt' o:ole="">

o:title=""/><!--[if !vml]-->nPr<!--[endif]--><!--[endif]-->y se define como:

<V:SHAPE

id="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" style='width:226.5pt;height:33.75pt'

o:ole="">

o:title=""/><!--[if !vml]-->

<!--[endif]-->

Cuando uno o varios elementos están repetidos, el cálculo de las permutaciones varía; en este caso se habla de permutaciones con repetición. El número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales, n2 son iguales, …, nr son iguales, es:

Combinatorias o combinaciones

Suponga que tiene un conjunto de n elementos. Una combinación de ellos, tomados r a la vez, es un subconjunto de r elementos donde el orden no se tiene en cuenta. El número de combinaciones de n elementos tomados r a la vez, <V:SHAPETYPE

id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"

path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">

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