CAPITULO 1 ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA

CAPITULO 1

ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA

1. PROPOSICIONES

Ejemplos:[pic 5]

• Las computadoras se programan.
• 5 + 4 = 10

En estos ejemplos se ha afirmado algo, en la primera proposición se afirma algo verdadero y en la segunda algo falso. Dicho de otra manera, la primera proposición es verdadera, la segunda es falsa. Otros ejemplos podrían ser:

• La semana no tiene 14 días.
• 4 no es un número par.

En estos otros ejemplos se ha negado dos hechos o situaciones. En la primera proposición se niega algo falso y en la segunda se niega algo verdadero, también se puede decir que la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa.

Toda proposición tiene que tener un valor de veracidad (o valor de verdad), el cual puede ser VERDADERO o FALSO.  Es decir, que toda proposición tiene que ser o bien verdadera o bien falsa, pero no ambas.

[pic 6]

Si se afirma algo   verdadero,      la proposición es   verdadera.

Si se afirma algo   falso,                la proposición es   falsa.

Si se niega    algo   verdadero,      la proposición es   falsa.

Si se niega    algo   falso,               la proposición es   verdadera.

Si una oración o frase  no tiene valor de veracidad, es decir que no puede ser verdadera o falsa, o de la cual no tiene sentido hablar de su veracidad, entonces tal oración NO es proposición.  Las siguientes frases u oraciones no son proposiciones:

            Contraejemplo                                                 Razón por la cual NO es proposición

• ¿De qué color es tu camisa?                                 es una  oración interrogativa
• ¡ Qué lindo día hace hoy ¡         oración exclamativa  y   una apreciación subjetiva
• Por favor, sume el primer número con el último.        es  una   oración  imperativa
• ___________ es mi hermano.                                                              está incompleta

En estos contraejemplos, se considera que no tiene sentido decir que la frase u oración es verdadera o falsa ( oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas o subjetivas).

Las proposiciones se  representan por medio de letras minúsculas del alfabeto, así:

• p:  Hoy es lunes
• q:  Llueve
• r :  2 + 2 ≠ 4  

Proposiciones Abiertas:

La siguiente es una proposición verdadera:

• La unidad monetaria de Honduras es el Lempira,

Se representa por p. y se dice que el valor de verdad p es V (se utiliza F para falso). Si se omite la palabra   Lempira   se deja el espacio correspondiente, se tiene:

• La unidad monetaria de Honduras es el __________________

De acuerdo al concepto inicial, lo anterior no seria una proposición. Es necesario llenar el espacio en blanco para que se pueda asignar un valor de verdad. Si se coloca la palabra  “Yen”  se obtiene: 

• La unidad monetaria de Honduras es el Yen. 

que resulta ser una proposición, pero falsa.   Este tipo de expresión incompleta, que puede convertirse en una proposición, será llamada proposición abierta.  Se debe notar que una proposición abierta no es una proposición, pero puede convertirse en una proposición, verdadera o falsa,  al llenar el espacio en blanco.

En este ejemplo cualquier denominación monetaria del mundo (peso, euro, marco, dólar, franco, etc. que son nominaciones monetarias en género masculino) podría colocarse en el espacio y la frase incompleta se convierte en proposición, en algunos casos verdadera y en otros falsa, por ejemplo:

• La unidad monetaria de Honduras es el Lempira.                  ( V )
• La unidad monetaria de Honduras es el Euro.                        ( F )

No se puede llenar el espacio con nombres de universidades, ya que no tendría sentido decir que una universidad es la unidad monetaria de Honduras.  (A menos, claro está, que se escoja el nombre de una universidad como nombre de la unidad monetaria).

Variables

[pic 7]

De esta manera, la proposición abierta anterior se rescribe:        

• La unidad monetaria de Honduras es el x 

y  se dice que la expresión resultante, es una proposición abierta que se puede representar por p(x).  

[pic 8]

Se observa que al llenar espacio de la proposición abierta, ésta se  transforma en una proposición que puede ser verdadera o falsa.  En el ejemplo anterior el universo sería el  conjunto:

U = {peso, euro, lempira, dólar, yen, …}

Por otra parte, el universo puede ser considerado hasta cierto punto como arbitrario, es decir que uno puede escogerlo de acuerdo a los objetivos de un estudio o problema específico. Por ejemplo, para la proposición abierta: “x > 0” el universo podría ser el conjunto de números enteros o bien podría ser el conjunto de todos los números reales, dependiendo con que clase de números interese o convenga trabajar. En caso de incertidumbre en cuanto a la selección de un universo, generalmente se selecciona el universo más amplio posible, que es el conjunto de todos los valores posibles que convierten la proposición abierta en una proposición, ya sea ésta verdadera o falsa.

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