Ejercicios Resueltos Oligopolio

I Ejercicios de juegos secuenciales:

1) El dueño de una granja pide a sus dos hijos que cosechen el maíz del campo familiar. Además, decide repartir el total de la producción entre ellos en partes iguales, ya que no sabe cuál es más productivo que el otro y los quiere por igual. Suponga que, efectivamente, uno es más fuerte que el otro y que, si se esfuerzan, son capaces de producir 20 y 10 kgs de maíz diarios, respectivamente. Asuma que a cada uno el esfuerzo le cuesta el equivalente de 8 kgs de maíz diarios y que ambos hijos sólo se reencuentran en la noche, cuando le muestran a su padre la producción del día. Si no se esfuerzan, no producen nada. Represente el juego y encuentre el equilibrio, señalando si se trata de un equilibrio en estrategias dominantes o de Nash.

Dado que ninguno de los hermanos conoce cuánto produce el otro al momento de cosechar, este corresponde a un juego simultáneo. Recordar que la producción total se divide por la mitad y que el costo sólo lo incurre quién se esfuerza. Con esto, podemos representar la matriz de pagos de la siguiente forma:

El más débil

Se esfuerza No se esfuerza

El más fuerte Se esfuerza (7, 7) (2, 10)

No se esfuerza (5, -3) (0, 0)

Si ambos se esfuerzan, la producción total es de 30 kgs y cada uno recibe 15. Como cada uno tiene un costo de esforzarse de 8, entonces el pago total será 15-8 = 7 para cada uno.

Si el hermano fuerte se esfuerza y el débil no, entonces la producción total será de 20. Cada uno recibirá 10, pero como sólo el fuerte se esfuerza, entonces sólo él asume el costo, por lo que recibe un pago de 2, mientras que su hermano recibe 10.

Si sólo el más débil se esfuerza, la producción total sería de 10, recibiendo 5 cada uno. No obstante, sólo el débil asume el costo del esfuerzo, por lo que su pago será de 5-8=-3.

Si ninguno se esfuerza, entonces la producción será de 0.

Equilibrio:

Vemos que para el hermano más fuerte es una estrategia dominante esforzarse, ya que 7 > 5 y 2 > 0. Dado esto, el más débil decidiría no esforzarse, por lo que el equilibrio de Nash es (Se Esfuerza, No se esfuerzo), donde la primera estrategia se refiere a la estrategia del hermano más fuerte.

Este es un equilibrio en Estrategias Dominantes.

2) ¿Cómo cambia el equilibrio en el juego anterior suponiendo que el hermano que produce menos puede observar lo que hace su hermano antes de cosechar su parte? Explique por qué cambia o no cambia su resultado.

En este caso, es un juego secuencial en el que el débil produce primero.

(Ojo, aquí en el dibujo están al revés, debería ser el fuerte primero y luego el débil, como lo vimos en la ayudantía)

En este caso, el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos es que el Débil no se esfuerza y el Fuerte sí se esfuerza. (NE , E)

Nota: en términos formales, sería (NE, E, E) donde los dos últimas estrategias corresponden a las estrategias del fuerte en el caso que el débil se esfuerza y el caso en que no se esfuerza, respectivamente.

El perfil de estrategias de equilibrio no cambia. Es decir, el equilibrio sigue siendo que el Débil no se esfuerza, mientras que el Fuerte se esfuerza. La razón por la cual el equilibrio no cambia es porque esforzarse es una estrategia dominante para el Fuerte, por lo que no hay ninguna alteración de los incentivos al jugar primero. No existe ninguna ventaja que se pueda aprovechar por el hecho de jugar primero.

3) Suponga un juego Del Ultimátum: Hay dos jugadores, 1 y 2 y $3 en juego. El jugador 1, que decide en primer lugar, ofrece un dólar o dos al jugador 2. El jugador 2 escucha la oferta y dice sí o no. Si el jugador 2 dice que sí se queda con el dinero ofrecido y el jugador 1 obtiene el resto. Por lo tanto, si el jugador 1 ofrece $1 y el jugador 2 acepta, las ganancias son $1 para el jugador 2 y ($3 - $1) = $2 para el jugador 1. Si el jugador 2 dice que no a la oferta del jugador 1, ambos obtienen $0.

Se pide,

Encontrar la forma extensiva y los equilibrios perfectos en subjuegos para dicho juego.

Se resuelve por inducción hacia atrás (los equilibrios de los subjuegos están marcados en rojo). El jugador 2, en la segunda etapa del juego, acepta cualquier oferta. Dado esto, en la primera etapa el jugador 1 elige ofrecer $1. Con esto, el equilibrio de Nash perfecto en Subjuegos es ($1, A).

Recordar lo discutido en clases, que en términos formales, el ENPS debe incluir TODAS las estrategias. En ese caso, se debe escribir:

{$1, (A, A)}

Es decir, en la primera etapa, el jugador 1 elige $1. Luego, en la 2da etapa el jugador Acepta cualquiera de las ofertas (A, A).

4) El gerente general de una empresa debe decidir el esquema óptimo de compensaciones que le permita maximizar el esfuerzo que realizan sus trabajadores y por tanto sus utilidades. Para esto debe negociar con sus trabajadores.

Suponga que la negociación se lleva a cabo en forma simultánea y que el gerente puede tomar solo 2 decisiones: Ofrecer un “esquema de salario fijo” o un “esquema de salario variable de acuerdo al número de horas trabajadas”. Por otro lado, los trabajadores solo pueden “Aceptar” o “Rechazar” la oferta.

La matriz de pagos en cada decisión es la siguiente, donde el primer número es el pago de los trabajadores y el segundo el del gerente.

Trab. / Gte. Salario Fijo Salario Var. Por Hras. Trabajadas

Aceptar (1,2) (0,1)

Rechazar (0,0) (1,0)

a) Encuentre el Equilibrio de Nash del juego. Explique.

Si el gerente ofrece “salario fijo”, los trabajadores “aceptan” mientras que si el gerente ofrece “salario variable”, los trabajadores “rechazan”. Al mismo tiempo, si el gerente sabe que los trabajadores “aceptarán”, entonces le conviene ofrecer “salario fijo”. Si sabe que “rechazarán”, esta indiferente entre ofrecer “salario fijo” o “salario variable”.

Hay 2 equilibrios de Nash. (A, SF) y (R, Sal Var.)

b) Suponga ahora que la negociación se lleva a cabo en forma secuencial y tiene la siguiente modificación:

En la primera etapa el gerente debe decidir si implementar un esquema de compensaciones en base a un salario fijo o en base a un salario variable. En la segunda etapa, los trabajadores deben decidir

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