Ensayo De Numeros Reales

INTRODUCCION

En este ensayo deseo exponer la importancia que poseen los números reales, ya que ellos constituyen la base del cálculo diferencial e integral. De manera muy breve se darán a conocer algunas de sus propiedades, así mismo conoceremos una muy importante herramienta del cálculo, la funcion

En las matemáticas tenemos diversos conjuntos de números, los naturales o los racionales, por mencionar algunos, pero conforme ha ido evolucionando, la necesidad de representar cantidades de maneras más exactas también ha ido creciendo “Los número reales surgen del deseo de representar «cantidades» que no tienen representación adecuada dentro de Q. Como veremos, hay ecuaciones que no admiten soluciones en Q así como hay objetos geométricos simples que no se pueden medir exactamente usando sólo fracciones”.

Con esto podemos darnos cuenta que en el conjunto de los números reales podemos encontrar a todos los demás conjuntos de números.

Una vez que hemos analizado definido de manera general a los números reales, podemos empezar a ver sus propiedades con la ayuda de Gladys Bobadilla A. y Rafael Labarca B. ellos las consideran de la siguiente manera:

1-Reflexividad: a = a

2-Simetría: si a = b, entonces b = a

3-Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.

4-Ley asociativa para la suma: a + (b + c) = (a + b) + c.

5-Existencia de un elemento identidad para la suma: a + 0 = 0 + a = a

6-Existencia de inversos para la suma: a + (-a) = (-a) + a = 0:

7-Ley conmutativa para la suma: a + b = b + a:

8-Ley asociativa para la multiplicación: a * (b * c) = (a * b) * c:

9-Existencia de un elemento identidad para la multiplicación: a*1 = 1*a = a; 1 ≠ 0:

10-Existencia de inversos para la multiplicación: a * a^-1 = a^-1 * a = 1; para a ≠ 0:

11-Ley conmutativa para la multiplicación: a * b = b * a

12-Ley distributiva: a * (b + c) = a * b + a * c:

Estas propiedades nos ayudan a entender la importancia que tiene en conjunto de los reales, IR es una de las partes fundamental en el tema que a continuación abordaremos.

Funciones “Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

Existen diferentes tipos de funciones, el uso de estas depende completamente de aquello que se quiera obtener o la función que se este trabajando, para ejemplificar esto a continuación se muestran algunas imágenes de graficas de funciones.

Y(x)= x (otra forma de expresar este resultado también es la expresión f(x)=x)

Gráfica

Esta ecuación no tiene asociado dos elementos del codominio con uno del dominio, sin embargo la definición de función no impone ninguna restricción al respecto.

Podemos analizar que en este caso el domino es (-, ). Sin embargo, sabemos que el hecho de que la función sea f(x)=x2 conduce a que solo el recorrido de la función mande a valores positivos, y por tanto el rango de la función es [0, )

La siguiente ecuación no es función y2 = x

Su gráfico es el siguiente:

Como es fácil identificar los elementos del dominio (x>0) tienen asociados dos elementos del codominio y por tanto no es función.

Conclusiones: Tenemos que para fines prácticos de este curso de cálculo diferencial e integral, es de suma importancia entender de manera clara, como funcionan los conjuntos de números y sus propiedades, ya que estos son la llave para temas de mayor complejidad, y a su vez interpretar de manera consistente las funciones y sus graficas.

Desarrollo

¿Que son los números reales?

En matemáticas, los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: , el número real log2, cuya trascendencia

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