Interes Compuesto

DESARROLLO

EL INTERÉS COMPUESTO

Representa la acumulación de intereses devengados por un capital inicial (CI) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.

Para un período determinado sería

Capital final (Cf) = capital inicial (C) más los intereses.

Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo:

Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 4 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).

Año Depósito inicial Interés Saldo final

0 (inicio) $1.000.000 ($1.000.000 x 10% = ) $100.000 $1.100.000

1 $1.100.000 ($1.100.000 × 10% = ) $110.000 $1.210.000

2 $1.210.000 ($1.210.000× 10% = ) $121.000 $1.331.000

3 $1.331.000 ($1.331.000 × 10% = ) $133.100 $1.464.100

4 $1.464.100 ($1.464.100 × 10% = ) $146.410 $1.610.510

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final.

Resulta simple, pero hay muchos cálculos.

El concepto y la fórmula general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero.

El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.

Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.

El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.

Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:

El capital original (P o VA)

La tasa de interés por período (i)

El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).

Período de capitalización:

Es el intervalo de tiempo convenido en la obligación, para capitalizar los intereses.

Tasa de interés compuesto:

Es el interés fijado por período de capitalización.

Monto de un capital a interés compuesto o monto compuesto:

Es el valor del capital final o, capital acumulado después de sucesivas adiciones de los intereses.

Por ejemplo:

Sí invertimos una cantidad durante 5½ años al 8% convertible semestralmente, obtenemos:

El período de conversión es: 6 meses

La frecuencia de conversión será: 2 (un año tiene 2 semestres)

Entonces el número de períodos de conversión es:

(número de años)*(frecuencia de conversión) = 5½ x 2 = 11

EJERCICIOS DE EJEMPLO DEL INTERÉS COMPUESTO

Ejercicio 1:

¿Cuánto es necesario invertir ahora para tener $ 10,000 en 10 años a una tasa de interés del 8%?

PV = $ 10,000 / (1 +0,08)10 = $ 10,000 / 2,1589 = $ 4,631.93

Ejercicio 2: Si usted toma un préstamo de $ 1.000 durante 12 meses a una tasa de "1% por mes", ¿cuánto debe pagar?

Sólo tiene que utilizar la fórmula de valor futuro con "n" como el número de meses:

FV = PV × (1 + r)n = $ 1,000 x (1.01)12 = $ 1.000 × 1.12683 = $ 1,126.83

Ejercicio 3:

Una cantidad de $ 1,500.00 se deposita en un banco el pago de una tasa de interés anual del 4,3%, compuesto trimestralmente. ¿Cuál es el saldo después de 6 años?

Solución:

Utilizando la fórmula de interés compuesto, se tiene que

P = 1,500, r = 4.3/100 = 0.043, n = 4, t = 6. Por lo tanto,

ELEMENTOS DEL INTERÉS COMPUESTO.

P: Valor Presente o capital Inicial

F: Valor Futuro o Monto final

I: Intereses

i: tasa del periodo

n: nº de periodos

k: Frecuencia de la capitalización

CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS COMPUESTO:

•

El capital inicial cambia en cada periodo porque los intereses que se causan se capitalizan es decir se convierten en capital

• La tasa de interés siempre se aplica sobre un capital diferente

• Los intereses periódicos siempre serán mayores.

DIFERENCIAS ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

La diferencia básica ente el interés simple y el interés compuesto esta en lo que se haga con los intereses causados periódicamente. Si por ejemplo se abre una cuenta de ahorros en determinado banco el cual liquida los intereses trimestralmente y estos no son retirados por el ahorrador automáticamente se convierten en interés compuesto.

Pero si el ahorrador esta pendiente de los intereses que se le liquidan y los retira los interés se estarían generando nuevamente sobre solo capital ahí estaríamos hablando de interés simple.

FÓRMULAS DEL INTERÉS COMPUESTO:

FORMULAS DE INTERES COMPUESTO

Fórmula 1 Monto o Valor Futuro VF = VP x (1 + i ) n

Fórmula 2 Valor Presente o Valor Actual VP = VF /( 1 + i ) n

Fórmula 3 Tasa de Interés i = ( VF / VP) 1/n – 1

Fórmula 4 Número de Periodos n = log (VF/VP)/log (1+i)

Formula 5 Interés compuesto I = VP ((1+i)n – 1)

La fórmula general del interés compuesto es sencilla de obtener:

VA0.

VA1 = VA0 + VA0i = VA0 (1+i),

VA2 = VA0 (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)2

VA3 = VA0 (1+i) (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)3

Generalizando para n períodos de composición, tenemos la fórmula general del interés compuesto:

Fórmula para el cálculo del monto (capital final) a interés compuesto.

Para n años,

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