Para calcular la función derivada al ser la función un cociente de dos funciones aplicamos la derivada del cociente

PROBLEMA 1

Dada la función  [pic 1], calcule:

1. La función derivada.
2. La derivada en el punto x = 4.

Solución:

1. Para calcular la función derivada al ser la función un cociente de dos funciones aplicamos la derivada del cociente.

[pic 2]

Como podemos observar, la función derivada de una función es otra función.

Generalmente, y por comodidad del lenguaje, no se dice función derivada, sino sólo derivada, lo cual puede llevar a error con el concepto de derivada de una función en un punto que es sólo un número.

1. Para calcular el valor de la derivada en un punto, podríamos proceder de dos formas. La primera sería la forma formal y consiste en aplicar la definición, y la segunda, que es lo que realmente hacemos en la práctica, consiste en calcular la función derivada utilizando las reglas de derivación y sustituir en el punto:

[pic 3]

PROBLEMA 2

Sean las funciones:

[pic 4]

1. Determine el dominio de f  y g.
2. Diga cuáles son las funciones escalares componentes de f.
3. ¿Se pueden componer f y g?

Solución:

1. Vemos que la función f es una función vectorial, mientras que la función g es una escalar. Si llamamos D al dominio de la función f  y H al de la función g, tenemos:

[pic 5]         

siendo:

- [pic 6] ya que un logaritmo sólo se puede aplicar a números estrictamente positivos.

- [pic 7] puesto que, al ser g un cociente de funciones, sabemos que su dominio estará formado por todos los números reales excepto aquellos que hagan el denominador nulo.

1. Las funciones escalares componentes de f  serían:

[pic 8]        [pic 9]

1. Dado que[pic 10]y[pic 11] la composición [pic 12] sería imposible de calcular dado que, por definición, habría que aplicar f al resultado de haber aplicado anteriormente g, es decir, deberíamos calcular[pic 13]. Esto sólo sería posible si se cumpliera que g(H) ⊂ D ⊂ R3 pero, en este caso, al ser g una función escalar, su espacio imagen g(H) ⊂ R y no en R3, lo cual demuestra que la composición [pic 14] no tiene sentido.

Estudiemos la composición [pic 15] más detenidamente. Para calcular esta composición, habría que aplicar g al resultado de haber aplicado antes f, esto es, tendríamos que calcular [pic 16], para lo cual se debe cumplir que f(D) ⊂ H ⊂ R3 . En principio, sabemos que f(D) ⊂ R3, así que nos queda comprobar si f(D) ⊂ H. Dado que H se encuentra formado por los vectores de R3 cuya tercera componente es distinta de cero y dado que la tercera componente de f, dada por la función[pic 17], toma siempre valores superiores a 0, la composición [pic 18] sería posible. Dicha composición es:

[pic 19]

PROBLEMA 3

Calcule [pic 20] para [pic 21]y [pic 22], para la siguiente función:

f(x1, x2) = [pic 23][pic 24]

Solución:

En este ejercicio, la función f es una función escalar

[pic 25]

definida sobre [pic 26], que es un subconjunto abierto de[pic 27]. Es evidente que [pic 28] y su imagen es [pic 29]

Al calcular la derivada direccional según el vector [pic 30] en el punto [pic 31]pretendemos obtener una medida de la tasa de variación de la función al alejarnos infinitesimalmente del punto ( 1, 1 ), en la dirección del vector ( 3, 2 ). Para calcular dicha derivada, puesto que nuestra función admite derivadas parciales y son funciones continuas en un entorno del punto [pic 32], se verifica que:

[pic 33]

Con lo cual:

[pic 34]              [pic 35]

[pic 36]

PROBLEMA 4

Dada f(x, y) = sen (x2 y) + cos (xy2), calcule la derivada direccional según el vector v = (2, 1) en x0 = (π, 0) e indique su significado.

Solución:

La derivada direccional de una función escalar en un punto aplicada a cualquier vector v es:

[pic 37]

Luego, si calculamos el gradiente de la función:

[pic 38] [pic 39]

Tenemos que la derivada direccional buscada es:

[pic 40]

Esto significa que si nos movemos infinitesimalmente desde el punto (π, 0) en la dirección del vector (2, 1) (esto es, aumentamos la primera componente dos veces la cantidad en que aumentamos la segunda componente), la función crece en [pic 41] veces esa cantidad:

[pic 42]

PROBLEMA 5

Calcule el desarrollo de Taylor de grado 1 en el punto (1, 1, 1) de la siguiente función:

[pic 43]

Solución:

El desarrollo de Taylor de orden uno en un punto xo es:

[pic 44]

Por tanto, necesitamos calcular el gradiente además de la imagen de ( 1, 1, 1 ):

[pic 45]

Y el desarrollo sería:

[pic 46]

Este desarrollo nos proporciona la mejor aproximación lineal de la función dada en el punto.

PROBLEMA 6

Sea la función [pic 47] definida por [pic 48], calcule la derivada direccional de f en el punto   (1,-1, 2), según la dirección del vector (-1, 1, -1) e interprete el resultado.

Solución:

La derivada direccional de una función vectorial en un punto aplicada a cualquier vector v es:

[pic 49]

Calculemos la matriz jacobiana de f, para lo que tenemos que determinar todas sus parciales en el punto:

[pic 50]

Así pues,

[pic 51].

Por lo tanto, la derivada direccional buscada es:

[pic 52]

        Esto quiere decir que, cuando a partir del punto (1,−1,2), nos movemos en la dirección del vector (-1,1,-1) (disminuimos las componentes 1 y 3 en la misma cantidad y aumentamos la segunda en esa misma cantidad), la primera componente de la función decrece esa cantidad y la segunda crece [pic 53] veces esa cantidad:

[pic 54]

PROBLEMA 7

Dada la función [pic 55], calcule la jacobiana en el punto (1,-1,-1) .

Solución:

Para calcular la matriz jacobiana, necesitamos obtener las derivadas parciales evaluadas en el punto (1, −1, −1):

[pic 56]

Así pues,

[pic 57].

PROBLEMA 8

a)    Calcule la matriz jacobiana de la función:

[pic 58]

b)    Calcule la hessiana de la función escalar que ocupa la primera componente, en el punto (1,1/2).

Solución:

a) Si llamamos f1(x, y) a la primera componente de nuestra función y  f2(x, y) a la segunda, es decir:

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