Problema de la Dieta

1. Problema de la Dieta: (Stigler, 1945). Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo:

Leche

(lt) Legumbre

(1 porción) Naranjas

(unidad) Requerimientos

Nutricionales

Niacina 3,2 4,9 0,8 13

Tiamina 1,12 1,3 0,19 15

Vitamina C 32 0 93 45

Costo 2 0,2 0,25

•

Variables de Decisión:

• X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta

• X2: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta

• X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta

Función Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3

Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales

• Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13

• Tiamina: 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15

• Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45

• No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0

Compruebe utilizando nuestro Módulo de Resolución que la solución Óptima es X1=0, X2=11,4677, X3=0,483871, con Valor Óptimo V(P)=2,4145.

Desde un punto de vista económico, la programación lineal es tal vez el avance matemático más importante del siglo XX.

Si preguntas algo como: ¿Que invención de la segunda guerra mundial permite el balanceo de una dieta animal … Posiblemente te pase por la mente escenas de la serie de televisión combate o de la película la lista de shindler .Y luego quedes confundido .Pero en 1947 George B. Dantzig propone un modelo matemático para optimizar el entrenamiento, abastecimiento logístico y movimiento de tropas en la Fuerza Aérea de los EEUU. Reemplazando el uso de reglas empíricas subjetivas por desigualdades lineales y una función objetivo.

Desarrolla luego un método de solución: El algoritmo del simplex.

Hablemos de matemática

Un problema de programación lineal es un problema de optimización donde: Se pretende maximizar o minimizar (Mínimo costo o máximo beneficio por ejemplo.).

• A la expresión matemática de nuestro problema le llamaremos función objetivo. ( función costo o función rentabilidad por ejemplo ).

• A nuestros parámetros les llamaremos restricciones.( no mas de , solo una vez , no superior a ,por ejemplo . ). Cada una de las restricciones será una ecuación lineal o una desigualdad lineal en las variables de decisión.

• Llamaremos Región Factible a un área donde todas las líneas constituidas por las restricciones crean una figura que las cumple y hallaremos una respuesta posible en cada intersección de ellas determinando la mínima o máxima.

A este punto es difícil entender que es el simplex y como funciona .Pero veamos el primer problema de la dieta planteado por el matemático Stigler:

"El problema de la dieta" de Stigler

Objetivo:

Encontrar la combinación de alimentos de costo mínimo que permita satisfacer nueve requerimientos nutricionales básicos de una persona de peso promedio.

Motivación:

Reducir costos en el abastecimiento de tropas.

Modelación matemática

Función objetivo :

min. x1 + x2 ( Buscar el mínimo costo al combinar cantidades x de alimento por su costo unitario)

Restricciones :

2x1 + x2 = 3 ( Requerimiento mínimo de proteína )

x1 + 2x2 = 3 ( Requerimiento mínimo de carbohidratos )

x1 = 0 ( cantidad mínima de papas en la dieta )

x2 = 0 (Cantidad mínima de fréjoles en la dieta )

En su intento por resolverlo, Stigler obtiene una de las primeras formulaciones de programación lineal : con 77 variables y 9 restricciones. Encuentra una solución por métodos heurísticos: $39.93 en 1939.

Algunos años después

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