Problemas Para Razonamiento Matemático

2. Problemas para Razonamiento Matemático

En este capítulo se presentan cerca de 160 ejercicios que fueron empleados en el instrumento para incrementar el índice de ingreso al nivel superior de la Escuela Bachilleres “Experimental”. Se resolvieron la mitad de los ejercicios, tal cual se presenta en este capítulo, mientras que el resto de ellos se propusieron para su solución individual.

2.1. Razonamiento Matemático

Definiremos una situación problemática como un espacio de interrogantes que posibilite, tanto la conceptualización como la simbolización y aplicación significativa de los conceptos para plantear y resolver problemas de tipo matemático.

En lo sucesivo aparecerán diversas cuestiones que intentan desarrollar habilidades de lectura, comprensión, planteamiento y elección – solución, mediante situaciones que tienen alguna relación con las matemáticas.

Los mecanismos para resolver son muy diversos. Prácticamente todos los problemas encuentran solución mediante procedimientos matemáticos, sin embargo, los requisitos pueden no ser del nivel medio superior, por lo cual se ha presentado una solución idónea para el nivel preuniversitario. En particular, en algunos casos procederemos mediante las posibles respuestas, eligiendo e intentando mostrar, mediante diversos argumentos, si es o no correcta la respuesta elegida.

Por último se señala que este material tiene un diseño basado en problemas resueltos y problemas propuestos. Una vez expuestos los primeros, el estudiante debe tener la habilidad para hallar solución a los segundos. Es inútil el desarrollo de habilidades sin al menos intentar cada uno de los problemas que aparecen en la sección de problemas propuestos.

2.2. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES LINEALES.

2.2.1. Problemas sin opción múltiple

1. Un número es equivalente al cuádruplo de otro y la suma de ellos es 80. Halle ambos números.

Solución:

El problema consiste en hallar un par de números que tienen una relación numérica entre sí. Como ambos números son desconocidos asignaremos variables cualesquiera para proceder.

Sean y el par de números buscados. xy

El enunciado, “la suma de ambos es 80”, implica necesariamente la ecuación . 80=+yx

Sin embargo, el problema en su primer enunciado define que “un número es igual al cuádruplo de otro”. Así, deberíamos entender que el cuádruplo de es 4 veces, en otros términos, . Volviendo al enunciado del problema se genera la ecuación . yyy4yx4=

El proceso que ha concluido hasta el momento ha sido el de la lectura – comprensión. Enseguida, en virtud de las ecuaciones generadas, procederemos a plantear el problema.

“Un número es igual al cuádruplo de otro” implica que yx4= y “la suma de ambos es 80” implica la ecuación . 80=+yx

Ahora bien, para hallar los números tendremos que ejecutar algún proceso algebraico. La sugerencia es sustituir el valor de la variable , en la ecuación x80=+yx, para luego despejar la variable , es decir, y

80=+yx

804=+yy

805=y 580=y

16=y

El proceso ha determinado el valor 16=y, sin embargo resta encontrar el valor de , puesto que son los números buscados. De manera sencilla se puede sustituir el valor de en la ecuación , esto es, xyyx4=

)16(4=x

64=x

Evidentemente la suma de ambos números corresponde a 80, y el primero, 64, es el cuádruplo del segundo, 16. Por lo tanto, los números buscados son 64 y 16.

2. Raúl tiene 14 años menos que David y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

Solución:

El problema deberá concluir una vez que se determinen las edades de los dos individuos en cuestión. Para comenzar debemos asignar variables algebraicas a cada uno de ellos.

Sean r la edad de Raúl y la edad de David. d

En el enunciado es necesario comprender que David es mayor de edad que Raúl. De hecho que su diferencia de edades es 14 años. Así, en un ejemplo numérico, si David tiene 24 años entonces Raúl debe tener 10 años.

Por otra parte, la suma de las edades de Raúl y David debe ser 56.

Ahora bien, para plantear el problema debemos establecer una relación entre las variables que corresponda a lo que se lee en el enunciado.

La primera oración del problema, “Raúl tiene 14 años menos que David”, implica algebraicamente la ecuación dr=+14, o bien 14−=dr. Además, “La suma de las edades es 56”, genera la ecuación 56=+dr.

Después de haber planteado el problema, se debe continuar con la solución del mismo. En este caso tenemos un par de ecuaciones lineales que se podrían representar, sustituyendo el valor de la variable en la ecuación d56=+dr, mediante 56)14(=++rr, que es la ecuación lineal a resolver.

Algebraicamente el proceso es simple, hay que despejar la variable única que aparece en la ecuación, es decir,

56)14(=++rr

5614=++rr

56142=+r

14562−=r

422=r 242=r

21=r

Para terminar, habrá que sustituir el valor numérico de la variable r en la ecuación , la cual generará el valor de la variable d que corresponde a la edad de David. El proceso es el siguiente: dr=+14

dr=+14

d=+1421

d=35

Según la asignación de variables propuesta, la edad de Raúl es 21 años y la edad de David es 35 años. Es importante verificar que las condiciones del problema se cumplan, en este caso es evidente que la suma de ambas edades es 56 años, y que Raúl es 14 años menor que David.

3. Un número es más grande que otro en 7 unidades. El doble del mayor excede al triple del menor en 2. Hallar ambos números.

Solución:

En este caso la solución del problema es un poco más complicada. Lo leído indica que debemos hallar un par de números, que llamaremos y , en donde uno de ellos es mayor que el otro. ab

Sea el mayor de los números buscados y b el menor de ellos. a

La lectura permite determinar que el mayor de los números lo es en 7 unidades. Para comprender esa frase, es conveniente ejemplificar numéricamente. Si el mayor de los números es 10 entonces el menor de ellos debe ser 3, puesto que el mayor es “más grande” en 7 unidades.

En términos algebraicos podríamos decir que 7+=ba o bien que , ambas ecuaciones son equivalentes según el ejemplo anterior. ba=−7

La dificultad del problema consiste en comprender el segundo enunciado. Recordemos que es el mayor de los números y b el menor. Así, el doble del mayor, , excede o es más grande que el triple del menor, , en 2 unidades. Esto, en términos algebraicos, representa que o bien que aa2b3ba322=−232+=ba.

Podemos plantear entonces el problema a partir de un

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