El momento angular

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTLA GUTIÉRREZ

INGENIERÍA ELÉCTRICA

Materia: Mecánica Clásica

Trabajo a realizar:

Unidad 3: Momento Angular y Fuerzas Centrales

Unidad 5: Sistemas de Partículas

Alumno:

Vázquez Manuel Samuel

Profesor:

MTRO. Alonzo Juárez Ontiveros

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas, a 01 de junio del 2015

MOMENTO ANGULAR

El momento angular o momento cinético es una magnitud física importante en todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista. Su importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación conocida como ley de conservación del momento angular. El momento angular para un cuerpo rígido que rota respecto a un eje, es la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la variación de la velocidad angular. En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en kg•m²/s.

Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo al momento lineal en las traslaciones. Sin embargo, eso no implica que sea una magnitud exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento angular de una partícula que se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y dirección) también se conserva.

El momento angular L de una partícula es el vector producto vectorial L=r xmv, perpendicular al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v. Como el vector L permanece constante en dirección, r yv estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de L.

De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L

MOMENTO ANGULAR DE UNA MASA PUNTUAL

El momento angular de una partícula con respecto al punto es el producto vectorial de su momento lineal por el vector .

En mecánica newtoniana, el momento angular de una partícula o masa puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el momento de su cantidad de movimiento con respecto a ese punto. Normalmente se designa mediante el símbolo . Siendo el vector que une el punto O con la posición de la masa puntual, será

El vector es perpendicular al plano que contiene y , en la dirección indicada por la regla del producto vectorial o regla de la mano derecha y su módulo o intensidad es:

Esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo ( en el dibujo), definido éste como la distancia del punto respecto al que se toma el momento a la recta que contiene la velocidad de la partícula.

MOMENTO ANGULAR Y MOMENTO DINÁMICO

Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad y, como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento , el producto vectorial es cero. En cuanto al segundo paréntesis, tenemos:

donde es la aceleración de la partícula, de modo que , es la fuerza que actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de por la fuerza es el momento o momento dinámico aplicado a la masa, tenemos:

Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento dinámico que actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en esta expresión ambos momentos, y deberán estar referidos al mismo punto O.

MOMENTO ANGULAR DE UN CONJUNTO DE PARTÍCULAS PUNTUALES

El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

La variación temporal es:

El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los momentos producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los momentos de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los momentos externos:

El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.

MOMENTO ANGULAR DE UN SÓLIDO RÍGIDO

Tenemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es:

Donde:

• es la velocidad angular del sólido.

• es el tensor de inercia del cuerpo.

Ahora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de inercia , depende del tiempo y por tanto en el sistema inercial generalmente no existe un análogo de la segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los ejes principales de inercia sucede que:

Donde es la aceleración angular del cuerpo. Por eso resulta más útil plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes principales de inercia del sólido, así se logra que , aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:

Que resulta ser una ecuación no lineal en la velocidad angular.

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR CLÁSICO

Cuando la suma de los momentos externos es cero , hemos visto que:

Eso quiere decir que . Y como es un vector, es constante tanto en módulo como en dirección.

Consideremos un objeto que puede cambiar de forma. En una de esas formas, su Momento de inercia es y su velocidad angular . Si el objeto cambia de forma (sin intervención de un momento externo) y que la nueva distribución de masas hace que su nuevo Momento de inercia sea , su velocidad angular cambiará de manera tal que:

En algunos casos el momento de inercia se puede considerar un escalar. Entonces la dirección del vector velocidad angular no cambiará. Solo cambiará la velocidad de

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