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3 MATRICES Y ALGEBRA LINEAL

3.1Definición de matriz

Una matriz A= es un arreglo rectangular de elementos ubicados en m filas y n columnas

A= (2.1)

Donde es el elemento ubicado en la i-ésima fila y la j-ésima columna. Los elementos que forman la matriz pueden ser números complejos o magnitudes de cualquier campo físico con una estructura aún más compleja. En particular si los son números reales, entonces A es denominada una matriz real.

La dimensión de A es mxn y cuando m=n se dice que A es una matriz cuadrada. Si n=1, diremos que A es una matriz columna o un vector columna (más específicamente un vector columna m-dimensional). Si a la inversa m=1, A es una matriz fila. Cuando m=n=1 A se reduce a un solo elemento o a un escalar. Si =0 para todo i y j, entonces A es la matriz nula.

3.1 Operaciones con matrices

Igualdad de matrices: Dos matrices A= y B= del mismo orden (es decir con igual número de filas y columnas) son iguales, A=B, si y sólo si = para todo i y j.

Multiplicación de una matriz por un escalar: Sea un número complejo y sea A= una matriz de dimensiones mxn; entonces, el producto A es una nueva matriz C= , tal que para todo i y j.

Adición y sustracción de matrices: Si dos matrices A= y B= tienen el mismo orden (dimensión) definimos la suma o diferencia de matrices, C=A B, como una nueva matriz C= , tal que para todo i y j. La adición de matrices es una operación conmutativa, es decir A+B=B+A, o en una forma más general A+B+C = (A+B )+C = A +(B +C ), no ocurre lo mismo con la sustracción.

Multiplicación de matrices: Sea A= (de dimensión mxn) y B= (de dimensión nxp), se define el producto entre matrices, A B ó A B, como una nueva matriz C= (de dimensión mxp), donde

(2.2)

Ejemplo1:

A= B=

AB= BA=

Ejemplo 2:

A= , B= , AB=

Debemos hacer notar que la multiplicación AB está definida si y sólo si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. En este caso se dice que ambas matrices son conformables en el orden indicado (AB). En general el producto entre matrices no es conmutativo (ver Ejemplo 1), es decir: AB BA. Si A= y B= , entonces AB está definido, pero BA no lo está a menos que m=p. Sin embargo, si m=p, AB y BA son de distinto orden, a menos que m=n. Si A y B son matrices cuadradas (igual número de filas que de columnas) y del mismo orden, entonces el producto conmuta, AB=BA.

Ejemplo 3: A= y B= , entonces AB=BA

Resulta consistente con las definiciones anteriores, el dividir una matriz en submatrices menores. Este proceso es conocido como partición de una matriz y resulta muy útil en programación, especialmente cuando se trabaja con matrices de grandes dimensiones. Por ejemplo, si partimos simétricamente una matriz cuadrada A de orden tres de la forma

A=

Donde los elementos de la partición son las submatrices

, , y

Si hacemos una partición similar para una matriz cuadrada C de orden tres

C=

Se verifica que la suma o diferencia y el producto de ambas matrices puede ser expresado en función de sus submatrices como:

A B= y AB= (2.3)

En general se puede afirmar que, si partimos dos matrices conformables en un producto, serán condiciones necesarias y suficientes para aplicar la definición siguiente: (‘la adición, sustracción y producto de dos matrices puede ser obtenida a partir de la adición, sustracción y producto de sus correspondientes submatrices’ ) que a cada línea vertical de partición que separe las columnas k y k+1 del primer factor, corresponda una línea de partición horizontal que separe las filas k y k+1 del segundo factor, y que en el segundo factor no haya líneas de partición horizontal adicionales.

Las particiones, pueden hacerse independientemente en columnas, filas o combinadas como en el caso anterior.

Supongamos que tenemos las matrices A y D, tales que:

A= D= y

AD=F=

Si partimos en columnas las matrices D y F

D= = y

F= =

tendremos un hecho ya conocido de que cada columna de F puede ser obtenida premultiplicando la columna correspondiente de D por la matriz A. Es decir

=A y =A

De una manera similar, si partimos en filas las matrices A y F veremos que cada fila de F es el resultado de postmultiplicar las filas correspondientes de A por la matriz D .

Lo anterior resulta sumamente útil en el caso de matrices grandes como ocurre en meteorología, oceanografía y en la geofísica en general, donde la longitud de las series de datos, como el número de localidades donde se toman los mismos, es grande (en la práctica es frecuente trabajar con matrices de datos con dimensiones cercanas a 1000 x 1000).

Particionar las matrices al confeccionar un programa implica una gran economía tanto en memoria como en tiempo de ejecución.

3.2 Definiciones

Transpuesta de una matriz: Al intercambiar las filas y columnas de una matriz A= se obtienen la denominada matriz traspuesta de A, AT. Es decir, AT= donde para todo i y j. Debemos hacer notar que la dimensión de AT es de nxm.

Matrices simétricas y antisimétricas: Una matriz cuadrada A= es simétrica si A= AT y asimétrica si A= -AT.

Matriz conjugada: Sea el complejo conjugado de , entonces la matriz conjugada de A= es Ā .

Matriz traspuesta conjugada: La traspuesta conjugada de A= , es A*= Ā T.

Matrices hermíticas y antihermíticas: Si una matriz cuadrada A= satisface que A= Ā T, entonces se dice que A es hermética. Si A= -Ā T entonces se dice que A es antihermítica.

Traza de una matriz: Sea una matriz cuadrada A= , entonces la diagonal principal de A esta formada por los elementos tales que i=j. Se define como traza de la matriz A la suma de los elementos

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