El diseño de sistemas de control se puede realizar, ya sea en el dominio del tiempo o en el de la frecuencia

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Introducción

El diseño de sistemas de control se puede realizar, ya sea en el dominio del tiempo o en el de la frecuencia. A menudo se emplean especificaciones de diseño para describir qué debe hacer el sistema y cómo hacerlo. Siendo estas únicas para cada diseño. En este caso particular analizamos el comportamiento de un circuito básico RC y propondremos un control para que el voltaje en el capacitor llegue a un punto deseado.

Objetivo

El propósito de esta actividad es demostrar cómo modelar un sistema eléctrico de primer orden RC simple y su respectiva identificación paramétrica. Esta actividad también proporciona un ejemplo físico de la clase común de sistemas de primer orden.

Marco Teórico

Circuito RC

Un circuito RC es un circuito compuesto de resistencias y condensadores alimentados por una fuente eléctrica. Un circuito RC de primer orden está compuesto de un resistor y un condensador y es la forma más simple de un circuito RC. Los circuitos RC pueden usarse para filtrar una señal, al bloquear ciertas frecuencias y dejar pasar otras. Los filtros RC más comunes son el filtro paso alto, filtro paso bajo, filtro paso banda, y el filtro elimina banda. Entre las características de los circuitos RC está la propiedad de ser sistemas lineales e invariantes en el tiempo; reciben el nombre de filtros debido a que son capaces de filtrar señales eléctricas de acuerdo a su frecuencia.

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Ilustración 1.- Circuito RC

En la configuración de paso bajo la señal de salida del circuito se coge en bornes del condensador, estando esté conectado en serie con la resistencia. En cambio en la configuración de paso alto la tensión de salida es la caída de tensión en la resistencia.

Sistemas de Primer Orden

Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O sea que se reducen al formato siguiente: donde k se denomina ganancia del proceso y  es la constante de tiempo del sistema.

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Ilustración 2.- Ecuación de sistema de primer orden

En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables “desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 , u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace.

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Ilustración 3.- Función de transferencia de un sistema de primer orden

Sistema de Lazo Abierto

Aquellos en los que la variable de salida (variable controlada) no tiene efecto sobre la acción de control (variable de control).

Características:

• No se compara la salida del sistema con el valor deseado de la salida del sistema (referencia).
• Para cada entrada de referencia le corresponde una condición de operación fijada.
• La exactitud de la salida del sistema depende de la calibración del controlador.
• En presencia de perturbaciones estos sistemas de control no cumplen su función adecuadamente.
• El control en lazo abierto suele aparecer en dispositivos con control secuencial, en el que no hay una regulación de variables sino que se realizan una serie de operaciones de una manera determinada. Esa secuencia de operaciones puede venir impuesta por eventos (event-driven) o por tiempo (timedriven). Se  programa utilizando PLCs (controladores de lógica programable)

Sistema de Lazo Cerrado

Sistema de control en lazo cerrado aquellos en los que la señal de salida del sistema (variable controlada) tiene efecto directo sobre la acción de control (variable de control). Operación que en presencia de perturbaciones tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia. Esta reducción se logra manipulando alguna variable de entrada del sistema, siendo la magnitud de dicha variable de entrada función de la diferencia entre la variable de referencia y la salida del sistema.

Desarrollo

Teórico

En primera instancia se analizó el circuito RC mediante la Ley de Kirchhoff de Voltajes para obtener ecuaciones diferenciales que pudieran ser utilizadas para modelar el sistema. Se consideraron las siguientes variables:

• R – Resistencia
• C – Capacitor
• ei – Voltaje de entrada
• eo – Voltaje de salida

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Ilustración 4.- Circuito RC

Comenzamos estableciendo la dirección de la corriente que fluye en el lazo cerrado.

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Ilustración 5.- Corriente en un circuito RC

La Ley de Kirchhoff de Voltajes establece que la suma de las subidas y caídas de tensión de voltajes en un lazo cerrado es igual a cero. Por lo tanto esta ley produce la siguiente ecuación:

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Ilustración 6.- Ecuación diferencial de un circuito RC

Posteriormente se aplica la Transformada de Laplace a la ecuación para pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.

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Ilustración 7.- Ecuación en el dominio de la frecuencia de un circuito RC

Proseguimos a realizar operaciones algebraicas para despejar a la variable I(s).

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Ilustración 8.- Función de la corriente

De esta manera se puede reconocer al voltaje de salida como el voltaje en el capacitor.

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Ilustración 9.- Función de salida

Con estas dos ecuaciones se puede obtener una nueva al igualarlas.

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Ilustración 10.- Igualación de ecuaciones

Esto sirve para poder obtener la función de transferencia G(s) que es igual a la salida del sistema entre la entrada.

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Ilustración 11.- Función de transferencia

Esto resulta en un sistema de primer orden que puede ser representado de una manera tal que estén presentes las constantes τ y K.

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Ilustración 12.- Representación distinta de la función de transferencia

Con esta función resultante τ representa el tiempo en segundos que resulta la multiplicación de la capacitancia del capacitor y la resistencia del resistor. La constante K es la ganancia que tendrá el sistema, la cual resulta del valor de la carga del capacitor en su punto estacionario.

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