Analisis De Serie De Tiempo

Análisis de serie de tiempo.

3.1 Componentes de una serie de tiempo.

UNA SERIE DE TIEMPO TIENE LAS SIGUIENTES COMPONENTES:

Tendencia, es la componente de largo plazo que constituye la base del crecimiento o declinación de una serie histórica, como se presenta en la figura 1.1. Los fuerzas básicas que producen o afectan la tendencia de una serie son: cambios en la población, inflación, cambio tecnológico e incremento en la productividad.

Figura 1.1 Gráfica de una serie de datos con tendencia

Ciclicidad, es un conjunto de fluctuaciones en forma de onda o ciclos, de más de un año de duración, producidos por cambios en las condiciones económicas, como se presenta en la figura 1.2.

Representan la diferencia entre los valores esperados de una variable (tendencia) y los valores reales (la variación residual que fluctúa alrededor de la tendencia).

Figura 1.2 Gráfica de una serie de datos con ciclicidad

Estacionalidad, las fluctuaciones estacionales se encuentran típicamente en los datos clasificados por trimestres, mes o semana. La variación estacional se refiere a un patrón de cambio, regularmente recurrente a través del tiempo. El movimiento se completa dentro de la duración de un año y se repite a sí mismo año tras año, como se presenta en la figura 1.3.

Figura 1.3 Gráfica de una serie de datos con estacionalidad.

Aleatoriedad, este comportamiento irregular está compuesto por fluctuaciones causadas por sucesos impredecibles o no periódicos, como el clima poco usual, huelgas, guerras, rumores, elecciones y cambio de leyes, como se presenta en la figura 1.4.

Figura 1. 4 Gráfica de una serie de datos con aleatoriedad

Estacionaria, es aquella serie de datos cuyas propiedades estadísticas básica, como media y la varianza, permanecen constantes en el tiempo, se dice que una serie que no presenta crecimiento o declinación es estacionaria, como se presenta en la figura 1.5.

Figura 1. 5 Gráfica de una serie de datos estacionaria

3.2 Método de mínimos cuadrados.

Es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la

que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se

aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas

(llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los

datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de

datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo

cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo

de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de

mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El

teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y

que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal.

También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan

visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular,

véase mínimos cuadrados ponderados).

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros

problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados,

minimizando la energía o maximizando la entropía.

• El método de mínimos cuadrados para el calculo de la ecuación de una recta a través de los datos de interés da la línea de mejor ajuste, para llegar a la ecuación de tendencia por mínimos cuadrados se resuelven dos ecuaciones simultáneamente.

El procedimiento más objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La recta resultante presenta dos características importantes:

1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste

∑ (Yｰ - Y) = 0.

2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría

una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yｰ - Y)² → 0

(mínima).

El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci²

Re emplazando nos queda

La obtención de los valores de a y b que minimizan

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