CRITERIO DE ROUTH HURWITZ

CRITERIO DE ROUTH HURWITZ

David Vallejo

E-mail: dsanvallejor@hotmail.com-;

Fecha de entrega: 18/12/2013

Resumen. El teorema de Routh–Hürwitz sirve para analizar la estabilidad de los sistemas dinámicos; Básicamente, el teorema proporciona un criterio capaz de determinar en cuál semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo están localizadas las raíces del denominador de la función de transferencia de un sistema; y en consecuencia, conocer si dicho sistema es estable o no. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable, y si hay un mínimo de un polo en el semiplano derecho, el sistema es inestable. El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad. Un sistema de control es estable si y sólo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado.

1. Objetivo General

- Conocer la importancia de el teorema de Routh–Hürwitz

2. Procedimiento

2.1 Marco Teórico

Criterio de estabilidad de Routh.

El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos de lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos.

El método de la estabilidad de Routh-Hurwitz proporciona una respuesta al problema de la estabilidad considerando la ecuación características del sistema, que en función de la variable de Laplace se escribe como

Con el objeto de investigar la estabilidad del sistema, es necesario determinar si alguna de las raíces de q(s) esta en la parte derecha del plano derecho del plano s. Si la ecuación anterior se escribe en forma factorizada, se tiene

donde de la ecuación característica, multiplicando los factores se obtiene que

En otras palabras, para una ecuación de enésimo grado, se obtiene

Examinando la ecuación anterior, se observa que todos los coeficientes del polinomio deben tener el mismo signo si todas las raíces están en la parte izquierda del plano. Así mismo, para un sistema estable, es necesario que todos los coeficientes sean diferentes de cero. Sin embargo, aunque estos requisitos son necesarios, no son suficientes. Es decir, si no se satisfacen, inmediatamente se sabe que el sistema es inestable; pero si se satisfacen, entonces debe procederse a determinar la estabilidad del sistema. Por ejemplo, cuando la ecuación característica es

El sistema es inestable, a pesar de que el polinomio tiene todos los coeficientes positivos.

El criterio de Routh-Hurwitz es necesario y suficiente para la estabilidad de los sistemas lineales. El método fue desarrollado originalmente por medio de determinantes, pero aquí se utilizara la formulación más conveniente de un array o tabla.

El criterio de Routh-Hurwiz se basa en el ordenamiento de los coeficientes de la ecuación característica

En n array o lista como sigue

Entonces las filas subsecuentes de la lista se completan como sigue:

Donde

Y así sucesivamente. El algoritmo para calcular los elementos del array puede deducirse tomando como base un determinante o usando la forma de la ecuación

El criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de raíces de q(s) con partes reales positivos es igual al número de cambios de signo de la primera columna del array.

Para un sistema establece, este criterio requiere que no haya cambios de signo en la primera columna. Este requisito es tanto necesario como suficiente. Existen cuatro casos o configuraciones diferentes de la primera columna del array que deben ser considerados y tratarse independientemente, puesto que requieren modificaciones adecuadas del procedimiento de cálculo del array: (1)

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