Clase de Límite

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Universidad Nacional Experimental Marítima del Caribe

Coordinación de Ciencias Básicas

Cálculo I (Ing. Marítima, código CAL-114)

Docente: Ing. Juver J. Jiménez O.

Clase de Límite

     Es posible que en alguna ocasión, en un estacionamiento, haya tenido que acercarse al máximo al automóvil de enfrente, pero sin desear golpearlo, o ni siquiera tocarlo. Esta noción de “acercarse cada vez más a algo, pero sin tocarlo”, es muy importante en matemáticas y tiene que ver con el concepto de límite, que es fundamental para el cálculo. Básicamente, se considera que una variable “se acerca al máximo” a un valor específico, y se examina el efecto que esto tiene sobre los valores de la función. Veamos un ejemplo:

     Evaluar la función   en la cercanía de los valores dados en la tabla de abajo y calcular los valores desconocidos. Como el dominio de la función es , la función no se encuentra definida en 1 interesa saber que le sucede en su cercanía.[pic 1][pic 2]

     Resolviendo mediante una calculadora científica, o a través de una hoja de cálculo como Excel, obtenemos

     Analizando la tabla de arriba observamos que para valores menores que uno (x<1) los valores de x van aumentando hasta aproximarse a 1 por defecto y los valores de f(x) se aproximan a el valor de 3 por defecto, mientras que para valores mayores que uno (x>1) los valores de x van disminuyendo hasta aproximarse a uno por exceso y los valores de f(x) también se aproximan a el valor 3 por exceso. Si observamos los valores finales de la tabla remarcados en negrillas podemos concluir que mientras los valores de x por exceso y por defecto se acercan al valor 1, los valores de f(x) se acercan o se aproximan al valor de 3.

     El resultado anterior se puede expresar analíticamente como [pic 3]

Definición de límite: el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es el número L, y ello se escribe como:

[pic 4]

     Si f(x) esta arbitrariamente cerca de L para toda x suficientemente cercana a x0, pero no igual a x0.

     Es importante recordar que cuando se determina un límite, lo importante no es lo que le sucede a f(x) cuando x es igual a x0, sino sólo lo que ocurre cuando x está cerca de x0.

     Se destaca en que el límite es independiente del sentido en que x se aproxima a x0, es decir, el límite debe ser el mismo independientemente de si x tiende a x0 desde la izquierda o desde la derecha (para x0  o  x>x0 respectivamente.

Propiedades de los límites.

1. Límite de una constante. Si   siendo C, una función constante real.[pic 5]

[pic 6]

1. Límite de una potencia. Si    para cualquier entero positivo n.[pic 7]

[pic 8]

     Si existe      y          con , entonces[pic 9][pic 10][pic 11]

1. Límite de una suma y límite de una resta. Si tenemos dos funciones y las denotamos por f(x) y g(x)

[pic 12]

1. Límite de un producto. Si tenemos dos funciones y las denotamos por  f(x) y g(x)

[pic 13]

1. Caso particular del producto, cuando una de las funciones es una constante f(x)=C y g(x)

[pic 14]

1. Límite de una cociente

[pic 15]

     El denominador en un cociente tiene que ser diferente de cero.

1. Límite de una raíz

[pic 16]

     Si n es par se requiere que la cantidad subradical sea mayor o igual que cero.

1. Límite de un logaritmo.

[pic 17]

     El argumento del logaritmo tiene que ser mayor que cero.

1. Límite de una potencia cuando la base y el exponente son funciones.

=[pic 18][pic 19]

1. Límite de una función compuesta.

[pic 20]

     Indeterminaciones de la forma: [pic 21]

     Indeterminación de la forma  utilizando factorización: cuando f(x) y g(x) de  son funciones racionales, es decir, el cociente de dos polinomios.[pic 22][pic 23]

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