Ejercicios Resueltos Aprendiendo a formular modelos

Ejercicios Resueltos

Aprendiendo a formular modelos

A continuación se muestran algunos ejemplos de formulación que le servirán para cimentar su habilidad al traducir problemas del mundo real a modelos matemáticos. Esta transición, o modo en que se ha de elaborar el modelo, la forma en que se definirá las variables y se formularán las restricciones y la función objetivo es de primordial importancia.

Intente resolver los siguientes problemas por si mismo. Formúlelos con la rapidez que le sea posible y no lea en un problema más de lo que se le da. Por ejemplo, no introduzca restricciones adicionales o matices lógicos o datos imaginarios que en su opinión podrían hacer más realista el modelo. Por ejemplo, no se preocupe por lo que ocurra la semana siguiente si el problema nunca se refiere a la semana siguiente. Los problemas que se muestran han sido escogidos para facilitarle el desarrollo del aprendizaje de la formulación. Para lograr esto y que pueda comprobar su trabajo y calibrar su progreso dentro del contexto descrito, la formulación correcta, debe carecer por completo de ambigüedad. En otras palabras, que haya una respuesta correcta. Más tarde, cuando tenga experiencia, la amplitud de las dudas en la interpretación y las sutilezas del mundo real serán mayores. Debido a que el tema de la formulación es tan importante y como la práctica es el único camino para dominarlo, se recomienda hacer un número de problemas grande. Como último consejo: No lea simplemente el problema y después vaya de inmediato a la solución. Esa sería la mejor forma de engañarse a si mismo sobre lo que ha comprendido. No lea la solución hasta que esté seguro de haber solucionado en forma correcta el problema por si mismo o esté totalmente convencido que se encuentra en un callejón sin salida.

Problema de producción

Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:

1. Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto

2. Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana

3. La ganancia por unidad vendida de cada producto

Que cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para obtener la máxima ganancia?

Cuantas horas semanales sobran en cada departamento ?

Formulación

1. Definición de las variables:

Xj = Unidades semanales a producir del articulo j-esimo ( j = 1 y 2)

2. Función objetivo:

Maximizar Z = X1 + (3/2) X2 Sujeto a las siguientes restricciones (c.s.r.):

3. Restricciones:

2X1 + 2X2 ≤ 16 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ A

X1 + 2X2 ≤ 12 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ B

4X1 + 2X2 ≤ 28 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ C

4. Condición de no negatividad:

Xj ≥ 0 ; j = 1 y 2

Problema clásico del transporte

Un fabricante tiene tres centros de distribución en: Bogotá, Medellín y Cali. Estos centros tienen disponibilidades de: 20, 40 y 40 unidades respectivamente. Sus detallistas requieren los siguientes cantidades: Pereira 25, Tulúa 10, Anserma 20, Ibagué 30 y Armenia 15. El costo de transporte por unidad en pesos entre cada centro de distribución y las localidades de los detallistas se dan en la siguiente tabla:

Cuanto unidades debe mandar el fabricante desde cada centro de distribución a cada detallista, de manera que los costos totales de transporte sean mínimos ?

Formulación

1. Definición de las variables:

Xij = Cantidad de unidades a enviar desde el centro de distribución i-ésimo (i = 1 = Bogotá, i = 2 = Medellín, i = 3 = Cali), al detallista j-ésimo (j = 1 = Pereira, j = 2 = Tulúa, j = 3 = Anserma, j = 4 = Ibagué,

j = 5 = Armenia).

2. Función objetivo:

Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14 + 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23 + 45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35 Sujeto a las siguientes restricciones:

3. Restricciones:

4. Condición de no negatividad:

Xij ≥ 0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5

El problema del trasbordo

Una empresa fabrica monitores de alta resolución en dos plantas de producción P1 y P2 . Las capacidades de producción por semana son de 80 y 60 unidades, respectivamente. Los monitores se llevan a cuatro centros de ventas Vi , i = 1, 2, 3 Y 4 que solicitan para la próxima semana 30 unidades para V1, 20 para V2 y 40 para V4. V3 no ha cuantificado su demanda indicando que va a ser muy alta y aceptaría toda la producción.

La legislación vigente obliga a la empresa a transportar los monitores de las plantas a los puntos de venta a través de alguno de los dos centros de control de calidad existentes C1 y C2 en los que se controlan los monitores y cuya capacidad es muy grande. El costo de control por unidad en C1 es de $4.000 y en C2 es de $6.000.

Los costos en miles de pesos del transporte unitario de las plantas a los centros de control y de estos a los puntos de venta, aparecen en la tabla siguiente:

La empresa desea distribuir toda la producción para la semana entrante, sin mostrar preferencia por la utilización de un determinado centro de control o punto de venta, pues su interés reside en minimizar el costo global de transporte. Cual debe ser la distribución de las plantas a los puntos de venta ?

Formulación

1. Definición de las variables:

Xij = Unidades a enviar desde el nodo i-ésimo (i = 1,2,3 y 4) al nodo j-ésimo (j = 3,4,5,6,7 y 8)

2. Función objetivo:

Minimizar Z = 12X13 + 11X14 + 10X23 + 9X24 + 4(X13 + X23) + 6(X14 + X24) + 22X35 + 20X36 + 24X37+20X45 + 19X47 + 23X48 Sujeto a las siguientes restricciones:

3. Restricciones:

4. Condición de no negatividad:

Xij ≥ 0 ; i = 1,2,3 y 4 ; j = 3,4,5,6,7 y 8

El problema de asignaciones

Se usan cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a otros cuatro puertos (numerados 1,2,3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias entre los barcos y las

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