EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADISTICA

PROBLEMAS ESTADISTICA I

Ejercicio 2. El 60% de los individuos de una población están vacunados contra una cierta enfermedad. Durante una epidemia se sabe que el 20% la ha contraído y que 2 de cada 100 individuos están vacunados y son enfermos. Calcular el porcentaje de vacunados que enferma y el de vacunados entre los que están enfermos.

Porcentaje de vacunados que se enferma:

Basándonos en el hecho de que 2 de cada 100 individuos están vacunados y son enfermos. Podemos decir que este grupo es el correspondiente al 2% del total de la población. Así, el porcentaje de vacunados que se enferma (P) es:

P = 2/60*100

P = 3,33%

Lo que quiere decir que el porcentaje de vacunados que se enferma es de un 3,33%.

Porcentaje de vacunados entre los que están enfermos:

Con el mismo hecho, que 2 de cada 100 individuos están vacunados y son enfermos.

Calculamos el porcentaje de vacunados entre los que están enfermos (P1):

P1 = 2/20*100

P1 = 10%

Así, el porcentaje de vacunados entre los que están enfermos es de un 10%.

Ejercicio 3. La proporción de alcohólicos que existe en la población de Málaga es, aproximadamente, un 10%; no obstante, en las bajas que dan los médicos de la Seguridad Social difícilmente se encuentra el diagnóstico de alcoholismo. Aparecen sin embargo diagnosticados de hepatopatías, lumbalgias, etc., que pueden hacer sospechar alcoholismo subyacente. Se realizó un estudio que puso de manifiesto que el 85% de los individuos alcohólicos y el 7% de los no alcohólicos sufrían tales patologías. Se desea saber cuál es la probabilidad de que un individuo con esas patologías sea realmente alcohólico.

La probabilidad de que un individuo con esas patologías sea realmente alcohólico es:

Sea:

A1 = Sea alcohólico.

A2 = No sea alcohólico.

B = Sufre patologías.

P (A1/B) = (P(A1B))/(P(B))

P (A1/B) = (P(A1)P(B/A1))/(P(A1B)+P(A2B))

P (A1/B) = (P(A1)P(B/A1))/(P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2))

P (A1/B) = (0,1*0,85)/((0,1*0,85)+(0,9*0,07))

P (A1/B) =0, 57

P (A1/B) = 57%

Así, la probabilidad de que un individuo con esas patologías sea realmente alcohólico es de 57%.

Ejercicio 4. Dos tratamientos A y B curan una determinada enfermedad en el 20% y 30% de los casos, respectivamente. Suponiendo que ambos actúan de modo independiente, cuál de las dos siguientes estrategias utilizaría para curar a un individuo con tal enfermedad:

Aplicar ambos tratamientos a la vez.

Si ambos actúan independientemente:

P(B)= probabilidad de sanarse aplicando ambos tratramientos a la vez

P(A1)= probabilidad de sanarse aplicando el tratamiento A.

P(A2)= probabilidad de sanarse aplicando el tratamiento B.

ENTONCES:

P(B)= P(A1)+ P(A2)

P(B)=0,2 + 0,3

P(B)=0,5

P(B)= 50%

Aplicar primero el tratamiento B y, si no surte efecto, aplicar el A.

P = 20%

Es recomendable, aplicar los dos tratamientos a la vez, pues, se tiene mayor probabilidad de sanarse.

Ejercicio 5. Se eligen al azar 3 deportistas de un equipo de 10 integrantes para realizar un control antidopaje; Se sabe que 2 de los jugadores del equipo han tomado sustancias prohibidas. ¿Cuál es la probabilidad de elegir para el análisis a alguno de los infractores?

La probabilidad de que haya algún infractor entre los tres seleccionados para el análisis es 1, que es una probabilidad del 100%, menos la probabilidad de que no se elija a ninguno de los infractores.

Sea

A1 = probabilidad de que sea seleccionado para el análisis a al menos un infractor.

A2 = probabilidad de que sea no seleccionado ningún infractor para el análisis.

P (A1) = 1 - P (A2)

esta probabilidad está dada por:

P (A1) =(# de casos favorables)/(total de casos posibles)

Encontramos la probabilidad de que no sea seleccionado ningún infractor (A2).

P(A2) = (# de casos favorables)/(total de casos posibles)

P (A2) = ((█(8@3))(█(2@0)))/((█(10@3)))

P (A2) = (8!/(3!*(8-3)!))/(10!/(3!*(10-3)!))

P (A2) =56/120 = 7/15

Ahora calculamos la probabilidad de que sea elegido alguno de los infractores para el análisis, que viene dada por:

P (A1) = 1 - P (A2)

P (A1) = 1- 7/15

P (A1) = 0,5333

P (A1) = 53,33 %

La probabilidad de seleccionar al menos un infractor para el analisis es de 53,33%.

Ejercicio 6. Estamos interesados en saber cuál de dos análisis A y B es mejor para el diagnóstico de una determinada enfermedad, de la cual sabemos que la presentan un 10% de individuos de la población. El porcentaje de resultados falsos positivos del análisis A es del 15% y el de B es del 22%. El porcentaje de falsos negativos de A es del 7% y de B es del 3%. ¿Cuál es la probabilidad de acertar en el diagnóstico con cada método?

R//

FALSOS POSITIVOS A =0,15

FALSOS POSITIVOS B= 0,22

FALSOS NEGATIVOS A =0,07

FALSOS NEGATIVOS B= 0,03

DIAGNOSTICO POSITIVO =+

DIAGNOSTICO NEGATIVO = -

SEA E EL EVENTO TENER ENFERMEDAD, SEA NE EL EVENTO NO ENFERMEDAD.

SEA P(E)=PROBABILIDAD TENER ENFERMEDAD = 0,1

SEA P(NE)=PROBABILIDAD NO TENER ENFERMEDAD = 0,9

SEA ANE EL EVENTO NO ENFERMEDAD CON EL DIAGNOSTICO A

SEA BNE EL EVENTO NO ENFERMEDAD CON EL DIAGNOSTICO B

SEA AE EL EVENTO ENFERMEDAD CON EL DIAGNOSTICO A

SEA BE EL EVENTO ENFERMEDAD CON EL DIAGNOSTICO B

PARA EXAMEN A

P(+/ANE)= PROBABILIDAD DE NO ENFERMEDAD DADO DIAG. + =0,15

P(-/ANE)= PROBABILIDAD DE NO ENFERMEDAD DADO DIAG. - = 0,85

P(+/AE)= PROBABILIDAD DE ENFERMEDAD DADO DIAG. + =0,93

P(-/AE)= PROBABILIDAD DE ENFERMEDAD DADO DIAG. - = 0,07

PROBABILIDAD DE ACERTAR DIAGNOSTICO ENFERMEDAD CON EL EXAMEN A SI SE SABE QUE DIO POSITIVO

P(AE/+)=(P(E)*P(+/AE))/(P(E)*P(+/AE)+P(NE)*P(+/ANE))

P(AE/+)=(0,1*0,93)/(0,1*0,93+0,9*0,15)

P(AE/+)=0,093/0,228

P(AE/+)=0,40789

EXISTE UNA PROBABILIDAD DEL 41 % DE ACERTAR UN DIAGNOSTICO ENFERMEDAD CON EL EXAMEN A DADO QUE OCURRIO POSITIVO.

PARA EXAMEN B

P(+/BNE)= probabilidad de no enfermedad dado diag. + =0,22

P(-/BNE)= probabilidad de no enfermedad dado diag. - = 0,78

P(+/BE)= probabilidad de enfermedad dado diag. + =0,97

P(-/BE)= probabilidad

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