Función característica de operación

Función característica de operación

La capacidad de los diagramas de  y R para detectar cambios en la calidad del proceso es descrita por sus curvas características es descrita por sus curvas características de operación (CO).[pic 1]

Se considera la curva CO para un diagrama de , con una desviación estándar µ0 conocida y constante. Si la media cambia de un valor bajo control. Por ejemplo, µ0, hacia otro valor µ1 = µ0 + k, la probabilidad de no detectar dicho cambio en la primera muestra subsecuente, o el riesgo β, es[pic 2][pic 3]

Como   N (µ, σ2/n), y los límites superior e inferior de control son los LSC  µ0 + 3 α /  y          LIC  µ0 - 3 α / , se puede escribir como:[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

[pic 10]

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  [pic 12][pic 13][pic 14]

Donde denota la función de distribución acumulativa normal estándar. Por ejemplo, supongamos que n = 5, y que se dese determina la probabilidad de detectar un cambio hacia µ1 = µ0 + 2 en la primera muestra después del cambio. Entonces, como k – 2 y n = 5 tiene que[pic 15][pic 16]

  [pic 17][pic 18][pic 19]

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0,0708[pic 21]

Esto es el riesgo o la probabilidad de no detectar el cambio. La probabilidad de dicho cambio en la primera muestra subsecuente es 1 –0,0708 = 0,9293.[pic 22][pic 23]

Con el objeto de construir la curva CO para el diagrama , hay que graficar el riesgo β contra la magnitud del cambio que se desee detectar, expresado en unidades de desviación estándar para varios tamaños muestrales n. Se pueden evaluar directamente tales probabilidades a partir de la Ecuación. [pic 24]

Diagramas de Control de  y R[pic 25]

La figura indica que la gráfica de  no es especialmente eficaz para detectar un pequeño cambio, digamos del orden 1,5σ o menor, en la primera muestra que sigue al cambio para los tamaños muestrales comunes de 4, 5 y 6. Por ejemplo si el cambio es 1,0σ y n = 5, se obtendrá β = 0,25, sin embargo, la probabilidad de lograrlo en la segunda muestra es β(1 – β) = 0,75 (0,25) = 0,19, mientras que la probabilidad de conseguirlo en la tercera muestra es β 2 (1 – β) = (0,75 2) 0,25 = 0,14. Así, la posibilidad de que se detecte el cambio en la k-ésima nuestra posterior es simplemente 1 – β veces la probabilidad de no descubrirlo en cada una de la k – 1 muestras iniciales, o[pic 26]

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En general, el número esperado de subgrupos que hay que analizar antes de detectar el cambio es

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Por lo tanto, en este ejemplo se tiene 1 / (1 – β) =  1 / 0,25 = 4 como el número esperado de subgrupos que hay que analizar antes de detectar un cambio de 1,0σ usando n = 5.

El análisis anterior de  aun cuando tamaños muestrales pequeños conducen a un riesgo β relativamente grande, debido a que se seleccionan y prueban las muestras en forma periódica, hay una alta probabilidad de detectar el cambio de modo razonablemente rápido, aunque tal vez no es la primera muestra después del cambio. Cabe anotar que además que el uso de los límites de advertencia y procedimientos de sensibilización, mejorarán todavía más la capacidad de la gráfica de control de descubrir cambios en el proceso.[pic 29]

Con el fin de construir la curva CO para el diagrama de R, se usa la distribución de amplitud relativa W = R/σ. Al suponer que el valor bajo control de la desviación estándar es σ0. Entonces en la curva CO, en al cual se grafica β en función de λ – σ1 / σ0 (el cociente de la nueva desviación estándar del proceso entre la anterior) para diversos valores de n.

Se observa que la gráfica de R no es muy eficaz para descubrir cambios en el proceso con tamaños muestrales pequeños. Por ejemplo, si la desviación estándar del proceso se duplica (es decir, λ – σ1 / σ0 = 2), lo que es un cambio bastante grande con muestras de tamaño cinco se tiene solamente alrededor del 40% de probabilidades de detectar este cambio en cada muestra subsecuente.

Si n > 10 ó 12habrá que utilizar la gráfica de S en vez del diagrama de R.

Longitud Promedio de Corrida ARL

ARL representa una manera de comparar eficiencia de las cartas de control de los procesos.

Indica el número promedio de muestras necesarias antes de detectar un punto que indique una condición fuera de control, la cual será fortuita.

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Donde  es la probabilidad de que alguno de los puntos esté por fuera de los límites de control.[pic 31]

Cuando no se tiene mucha información acerca del proceso, se recomienda trabajar con un valor de , valor que representa límites aproximados de 3 sigmas.[pic 32]

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