Matematica. VÉRTICES DE LA PARÁBOLA

UNIDAD 5

NÚMERO DE SESIÓN

11/14

I. TÍTULO DE LA SESIÓN

Graficando la función cuadrática de maximización de ganancias

II. APRENDIZAJES ESPERADOS

COMPETENCIA

CAPACIDADES

INDICADORES

ACTÚA Y PIENSA MATEMÁTICAMENTE EN SITUACIONES DE FORMA, MOVIMIENTO Y LOCALIZACIÓN DE CUERPOS

Elabora y usa estrategias 

• Emplea procedimientos y estrategias, recursos gráficos y otros al resolver problemas relacionados a funciones cuadráticas.

 Razona y argumenta generando ideas matemáticas

• Generaliza utilizando el razonamiento inductivo, una regla para determinar las coordenadas de los vértices de las funciones cuadráticas de la forma f(x)=a(x-p)2+q, ∀ a≠0.

III. SECUENCIA DIDÁCTICA

Inicio: (20 minutos)

• El docente da la bienvenida a los estudiantes y pregunta: ¿Qué actividades realizamos la  clase anterior? ¿Qué aprendizajes logramos?
• El docente coloca en la pizarra las expresiones de las de funciones cuadráticas, en su forma polinómica, realizadas la clase anterior y sus respectivas tablas (1 y 2 de la clase anterior):

[pic 1]

[pic 2]

• Los estudiantes, de forma voluntaria, explican los procesos realizados para determinar dichos modelos.
• Los estudiantes  identifican los elementos de la función cuadrática.
•  Los estudiantes responden a las siguientes interrogantes:

[pic 3]

• Los estudiantes dialogan en grupo sobre las preguntas planteadas.[pic 4]

• El docente hace referencia a las actividades en las cuales centrará su atención:

“Se centrará la atención en la representación de una función cuadrática e identificación e interpretación de sus elementos.”

- El docente  plantea las siguientes pautas de trabajo que serán consensuadas con los estudiantes:

[pic 5]

[pic 6]

Desarrollo: 50 minutos

• Los estudiantes desarrollan la actividad 1 de la ficha de trabajo 1 (anexo 1). Considerando la tabla 1, identifican los pares ordenados y los organizan en una tabla identificando variables:

• Los estudiantes ubican los pares ordenados en un plano cartesiano. El docente hace énfasis en la precisión de la ubicación de los puntos. Luego, los estudiantes unen los puntos con un adecuado trazo.
• El docente pregunta: ¿Qué sucede si tabulamos valores negativos para “x”? ¿Qué sucede con la gráfica? ¿Pueden darse valores negativos para “x” en el problema planteado?

-Los estudiantes analizan e intercambian opiniones y se espera que concluyan que en la vida real no puede darse el caso de una rebaja negativa, pero en términos puramente matemáticos si es posible.

-Agregan algunos valores negativos para la variable “x” en la tabulación y completan el gráfico, prolongando hasta cortar al eje “x”.

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

NOTA: Si el colegio cuenta con internet puede utilizar este link para graficar la función:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1500%2B250x++%E2%80%93+40x%5E2

Otra opción es descargar el Graphmatica u otro programa alternativo.

• A partir de la gráfica, los estudiantes responden las preguntas de la ficha de trabajo 1.

1. ¿Qué características tiene la gráfica obtenida?

-Se espera que los estudiantes identifiquen a la parábola como la representación gráfica de la función cuadrática.

-Identifican el vértice como el punto más alto o el punto más bajo según sea el caso. Se especifica que:

[pic 10]

-El docente hace énfasis en la simetría  de la parábola.

1. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de nuestra gráfica? ¿Qué interpretación tiene para la situación planteada?

-Se espera que los estudiantes identifiquen las coordenadas del vértice en la gráfica realizada: (3,125; 1890,625)

-Reconocen que la abscisa representa  el descuento realizado y la ordenada el ingreso máximo obtenido (punto más alto de la parábola).

1. ¿Se podrían obtener las coordenadas del vértice a partir de la ecuación general de la función cuadrática? Explique.

-Se espera que los estudiantes -con la mediación del docente- lleguen a expresar la función cuadrática en su forma canónica: para determinar las coordenadas de los vértices.[pic 11]

-Para ello, es necesario completar cuadrados.

-Dividen toda la expresión por -40, luego simplifican.

                     [pic 12]

[pic 13]

     Se completan cuadrados:

      [pic 14]

      Se homogenizan los dos últimos términos para operar

      [pic 15]

[pic 16]

    Se multiplica a toda la expresión por -40        

[pic 17]

[pic 18]

• Cada grupo presenta sus procedimientos y los cálculos realizados.
• El docente resalta que esta forma de expresar la función cuadrática es equivalente a la expresión general determinada anteriormente. ¿Encuentran valores conocidos por ustedes en dicha expresión?

• Los estudiantes se percatan que aparecen las coordenadas del vértice de la parábola.

• Los estudiantes comprenden que esta forma de representar la función cuadrática permite obtener, de manera directa, las coordenadas del vértice.
• Generalizan con la mediación del docente:[pic 19]

(h;k     [pic 20][pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

• El docente presenta  los siguientes ejemplos:

[pic 24]

[pic 25]

•  Los estudiantes, con la mediación del docente, generalizan la expresión matemática para hallar el vértice de la parábola.

A partir de la forma polinómica de la función cuadrática:

1. Dada la función f (x)
   f (x) = ax 2 + bx + c
2. Factorizar  “a” de los términos en x 2 y x
   f (x) = a [x 2 + (b / a) x] + c
3. de sumar y restar (b/2a) 2 dentro de los paréntesis
   f (x) = a [x 2 + (b / a) x + (b/2a) 2 - (b/2a) 2] + c
4. Tenga en cuenta que
   x 2 + (b / a) x + (b/2a) 2
5. puede ser escrito como
   [x + (b/2a)] 2
6. Ahora escribir f de la siguiente manera
   f (x) = a [x + (b/2a)] 2 - a (b/2a) 2 + c
7. que puede ser escrito como
   f (x) = a [x + (b/2a)] 2 - (b 2 / 4a) + c
8. Esta es la expresión matemática para determinar las coordenadas del vértice a partir de su forma polinómica: [pic 26]

• OTRA FORMA DE DETERMINAR LOS VÉRTICES DE LA PARÁBOLA:

A partir de su forma polinómica se obtiene la primera derivada   y se iguala  cero:        (abscisa del vértice), y la ordenada se obtiene reemplazando en el modelo matemático inicial[pic 27][pic 28][pic 29]

1. ¿Cómo podemos determinar el dominio y rango de nuestra función? ¿Cómo generalizar?

-Los estudiantes con la ayuda de su gráfica determinan el dominio de la función:

 [pic 30]

-Para determinar el rango se espera que los estudiantes hagan referencia a la posición de la parábola:

[pic 31]

1. ¿Qué representan los puntos de corte con los ejes del plano cartesiano para el problema? ¿Cómo podemos hallar los puntos de corte a partir del modelo matemático?

-El docente solicita a los estudiantes que observen la gráfica y pregunta: ¿Cuándo se da el caso que la gráfica corta al eje x? Se espera que los estudiantes se den cuenta que esto sucede cuando “y” toma el valor de 0.

•  [pic 32]

-Los estudiantes proceden a igualar a cero el modelo matemático de la función inicial:

0 = – 40x2   + 250x + 1500

Aplicando la formula general, se obtiene: X = 10  y  x= -3.75

-Ubican en la gráfica los puntos de corte obtenidos: (10;0) y (-3,75; 0

1.  ¿Qué significa el punto (10; 0) y (-3,75; 0) para el problema?

-Los estudiantes relacionan las variables y deducen que: “Una rebaja de 10 soles implicaría que el costo de la entradas se reduciría a S/. 0,0 por lo tanto no habría ingresos. Esto representa el punto (10,0).

-Los estudiantes intentan dar una interpretación similar al punto (-3,75; 0), pero reflexionan y observan que el punto está en el segundo cuadrante y los valores de x son negativos, no podría darse el caso de una rebaja negativa; pero concluyen que matemáticamente cuando “x” toma el valor de -3,75 el valor de “y” se reduce a “0”.

7. ¿Qué significa el punto de corte con el eje “y” para el problema?

-Los estudiantes ubican en la gráfica el punto de corte con el eje Y: (0, 1500), y deducen que: Si la rebaja es S/. 0,0 (no hay rebaja), entonces el ingreso es 1500 soles. Concluyen que el punto de corte con el eje Y se da cuando  X toma el valor de cero.

-El docente hace referencia que estos puntos de corte son considerados las raíces de la función cuadrática.

8. ¿Qué distancia hay entre los dos puntos de corte en el eje x? ¿Podrías determinar el valor medio de dicha distancia? Este valor medio, ¿qué relación tiene con el vértice?

-Los estudiantes hallan la distancia media entre los dos puntos de corte, el docente sugiere trazar una línea vertical que pase por dicho punto medio:

[pic 33]

[pic 34][pic 35][pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

-        Los estudiantes observan que la distancia media entre las raíces de la función  punto de corte con el eje x) coincide con la abscisa del vértice de la parábola.

9.  ¿Por qué se da este caso?

- Los estudiantes concluyen que esto se da por la simetría que guarda toda parábola.

10. Se podría afirmar que: ¿A mayor descuento mayor ingreso? Fundamenta tu respuesta.

- Los estudiantes, ayudados de su gráfica, analizan cada uno de los puntos. Se espera que llegue a la conclusión (con mediación del docente) que: “ En la parte real de la gráfica, a medida que la curva asciende se cumple que a mayor descuento mayor ingreso, hasta alcanzar su punto máximo. Luego, la curva desciende indicando que se sigue incrementando la rebaja pero los ingresos disminuyen hasta llegar a ser cero (punto de corte).

Cierre: (20 minutos)

•  Los estudiantes grafican la segunda función del problema  (costo de la entrada S/. 5,00) determinan. Hallan el vértice, los puntos de corte con los ejes y sus interpretaciones con respecto al problema.
• Cada grupo presenta su trabajo con la técnica del museo.
• El docente sistematiza y despeja dudas, llegando a la siguiente conclusión:

[pic 39]

[pic 40]

• El docente realiza algunas preguntas metacognitivas:

¿Qué aprendimos el día de hoy? ¿Cómo lo aprendimos? ¿Para qué nos es útil lo aprendido?

• Los estudiantes responden a manera de lluvia de ideas.

Observación: Esta sesión es una adaptación de la estrategia  “Aprendizajes basado en problemas de modelación matemática”  – Rutas del Aprendizaje 2015, ciclo VII, página 74.

IV. TAREA A TRABAJAR EN CASA

• El docente solicita a los estudiantes que representen gráficamente una función cuadrática que se abre hacia arriba y otra que se abre hacia abajo. Hallan sus vértices a partir de su expresión canónica y los puntos de corte con los ejes.

V. MATERIALES O RECURSOS A UTILIZAR

• Ministerio de Educación, MINEDU. Texto de consulta Matemática 5 (2012) Lima: Editorial Norma S.A.C.
• Calculadora científica, graficadores digitales u otros programas.
• Reglas, escuadras, compás, fichas, pizarra, tizas, papelógrafos, plumones, cinta masking tape, etc. 

Entrada adultos: S/. 10 Nuevo Soles

Descuento (x)

Ingresos (Y)

0

1500