Matematicas

ado un espacio de probabilidad (\Omega, \mathcal F, \mathbb P) y dos eventos (o sucesos) A, B\in \mathcal F con P(B)>0, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.

P(A \mid B) se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.

Interpretación[editar]

Tomando los mundos en los que B se cumple, P(A \mid B) se puede interpretar como la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, P(A \mid B) sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.

Propiedades[editar]

P(A \mid B) + P(\bar{A} \mid B) = 1

B \subseteq A \to P(A \mid B) = 1

Es decir, si todos los que tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1.

P(A) = P(A \mid B) \cdot P(B) + P(A \mid \bar{B}) \cdot P(\bar{B})

La proporción de zona verde dentro de B es la misma que la de A en todo el espacio y, de la misma forma, la proporción de la zona verde dentro de A es la misma que la de B en todo el espacio. Son sucesos independientes.

Independencia de sucesos[editar]

Artículo principal: Independencia (probabilidad)

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

P(A \cap B) \ = \ P(A) P(B).

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, P(A \cap B) ó P(A, B).

puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

P(A|B) \ = \ P(A)

P(B|A) \ = \ P(B).

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

Exclusividad mutua[editar]

Los conjuntos A y B no intersecan. Son mutuamente excluyentes.

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si A \cap B = \emptyset. Entonces, P(A \cap B) = 0.

Además, si P(B) > 0 entonces P(A\mid B) es igual a 0.

La falacia de la probabilidad condicional[editar]

La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anumérico este error muy común cometido por personas que desconocen la probabilidad.

La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente:

P(B \mid A)= P(A \mid B) \cdot \frac{P(B)}{P(A)} (Teorema de Bayes)

Problemas de ejemplo[editar]

---La paradoja del falso positivo---

La magnitud del error cometido con esta falacia se entiende mejor en términos de probabilidades condicionales.

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