Numeros Aleatorios

3.- Generación de números aleatorios

Una vez construido un modelo, debemos experimentar sobre él y para poder ejecutarlo

necesitamos dar valores a las variables de tipo exógeno. De esta forma podremos obtener valores de

salida y pasaremos a realizar un análisis de los mismos. Algunas de las variables de entrada son de

tipo aleatorio por lo que se tendrán que generar valores que simulen dichas entradas. Para generar

variables aleatorias que sigan determinadas funciones de probabilidad necesitamos partir de series de

números que cumplan ciertas características de aleatoriedad. La generación de dichos números es lo

que se va a abordar en este tema.

3.1.- Introducción

Es grande la necesidad de usar números aleatorios y son muchas las aplicaciones que

requieren de ellos, tales como:

· Simulación: para simular las entradas de aquellas variables aleatorias (no

determinísticas).

· Juegos o teoría de decisiones.

· Cálculo numérico: por ejemplo en la resolución de integrales.

· Teoría del muestreo: aquellos casos en los que sea demasiado costoso realizar la

muestra.

· Programación: generación de entradas para realizar las pruebas de los algoritmos y

programas.

Antes se ha hecho referencia a “número aleatorio”, en realidad no se puede hablar de la

aleatoriedad o no aleatoriedad de un número aislado, sino de éste en relación con otros, es decir, la

aleatoriedad es una característica que posee o no una serie de números. A partir de esta aclaración

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siempre que nos refiramos a un número aleatorio estaremos hablando de un número perteneciente a

una serie aleatoria.

3.2.- Generadores de números. Tipos

Las características deseables para los generadores de números aleatorios son las siguientes:

· Los números generados no se deben repetir frecuentemente (en ciclos).

· Las series generadas deben ser reproducibles.

· Rapidez en la obtención de los números.

· Almacenamiento mínimo. Tanto el propio generador como los números por el

generados.

· Los números generados han de estar uniformemente distribuidos (todos deben tener la

misma probabilidad de salir).

· Los valores generados deben ser independientes unos de otros, es decir, que la

obtención de cierto valor no esté condicionado por los valores obtenidos anteriormente.

Vamos a ver distintos métodos y para cada uno evaluaremos cuáles de las características

descritas arriba cumple y cuáles no.

1) Manual. Por ejemplo , lanzar un dado o realizar extracciones con reemplazamiento de

bolas numeradas dentro de una urna.

Ventajas:

- Las series obtenidas son realmente aleatorias.

Inconvenientes:

- Lentitud.

- Las series obtenidas son irreproducibles.

- Requieren gran cantidad de almacenamiento ya que habría que almacenar la serie

obtenida.

2) Tablas. (De hasta 100000 números).

Ventajas:

- Las series obtenidas son reproducibles.

Inconvenientes:

- Lentitud.

- Requieren gran cantidad de almacenamiento.

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3) Computación analógica. Las series se obtienen mediante fenómenos físicos.

Ventajas:

- Las series obtenidas son realmente aleatorias.

- Rapidez.

Inconvenientes:

- Las series obtenidas son irreproducibles.

4) Computación digital. Dada una función y una semilla, se van generando los números

aleatorios.

Ventajas:

- Rapidez.

- Pocos requerimientos de almacenamiento.

- Las series obtenidas son reproducibles.

Inconvenientes:

- Los números obtenidos no son independientes.

Nosotros, nos vamos a centrar en la utilización de éstos últimos. Por tanto, vamos a entender

por Generador de números aleatorios, un código al que vamos a llamar cada vez que necesitemos una

aproximación a un número aleatorio.

En 1946, Von Neumann propuso un método para obtener números aleatorios de k-cifras, a

partir de una semilla. Dicho método es conocido como Método de los cuadrados centrales.

El método consiste en partir de una semilla y elevarla al cuadrado, el siguiente número de la

serie se obtendría como resultado de extraer las k-cifras centrales del cuadrado obtenido y así

sucesivamente.

El problema que presenta este método es que los ciclos se producen rápidamente.

3.3.- Generadores congruenciales lineales

Nos vamos, pues, a centrar en los métodos de computación digital. A los números obtenidos

mediante dichos métodos se les conoce como números pseudoaleatorios, dado que, como se ha

mencionado más arriba, los números obtenidos están uniformemente distribuidos pero no son

independientes. Vamos a generar números uniformemente distribuidos en el intervalo (0,1) (U(0,1)),

dado que es fácil pasar desde ellos a otros que estén en otro intervalo.

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3.3.1.- Introducción

Hacia 1949, Lehmer introduce un método de generación de números aleatorios mediante el

cual un término de la serie se obtiene como función del término inmediatamente anterior (xn=f(xn-1)).

La función aplicada es la siguiente:

x ax c m siendo x m n n n n = + £ < " + ( ) mod , 0 1

En el generador distinguimos cuatro elementos:

· x0, es el valor inicial o semilla.

· a, multiplicador, siendo 0 £ a < m.

· c, incremento, siendo 0 £ a < m.

· m, módulo.

Se llama periodo a la subcadena, dentro de la serie generada, en la que no hay repeticiones de

números y longitud de periodo al número de elementos de dicha subcadena.

La repetición de números en la serie puede ser aleatoria, pero dado el método utilizado para la

generación de las mismas, en el momento en el que se repite un valor ya empieza a repetirse todo el

periodo, por lo que interesan métodos que garanticen longitudes de periodo grandes.

3.3.2.- Tipos de Generadores congruenciales lineales

Podemos distinguir dos tipos de estos generadores que se diferencian en el valor del

incremento.

· G.C. Multiplicativos. En ellos el incremento, c, es 0. Este tipo de generadores fueron los

introducidos por Lehmer, aunque mencionó como posibilidad la idea de tomar c¹0.

x ax m n n mod 1 = +

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