Regresion Lineal Y Polinomial

PROYECTO PRIMERA UNIDAD

MÉTODOS NUMÉRICOS

QUINTO NIVEL

“CREAR UN PROGRAMA QUE PERMITA OBTENER RAICES REALES E IMAGINARIAS DE UNA ECUACION O DE UN POLINOMIO, MEDIANTE EL USO DE METODOS NUMERICOS, UTILIZANDO SCILAB”

GRUPO DE PROYECTO:

CHANGOLUISA CHACHA CRISTIAN JAVIER

ZAPATA SARZOSA MARIA BELEN

PROFESOR:

ING. Wilson Tráves

COTOPAXI-LATACUNGA-ECUADOR

OCTUBRE-2013

TÍTULO DEL PROYECTO

“Crear un programa que permita obtener raíces reales e imaginarias de una ecuación o de un polinomio, mediante el uso de métodos numéricos utilizando Scilab”.

DEFINICIÓN Y JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA

La realización de un programa en Scilab nos permitirá poder analizar de manera rápida y detallada cómo se comportan los métodos numéricos ya estudiados aplicados a la resolución de funciones y polinomios los cuales nos servirán para así poder establecer estimaciones futuras de su comportamiento a través de varias aplicaciones en la vida cotidiana, con lo cual se pretende implementar los conocimientos adquiridos en clases para así poder realizar la programación y posterior resultado de un modelo matemático que será acorde a los datos ingresados por el usuario.

Teniendo en cuenta que en la vida practica tanto para Electrónicos y Electromecánicos al no poder conocer un valor de algún proceso que realicemos nos sirven los conocimientos de Métodos numéricos específicamente de regresión para poder así obtener valores aproximados de como se comportaran los datos que analicemos en diferentes procesos de nuestra carrera.

SISTEMA DE OBJETIVOS

Objetivo General:

Analizar, interpretar y programar, los datos que serán ingresados por el usuario para así mediante los métodos estudiados obtener el resultado de un modelo lineal y polinomial por medio de formulas matemáticas y intervalos ingresados.

Objetivos Específicos:

Diseñar el flujo grama para interpretar la estructura del programa.

Estructurar un programa menú que sea amigable con el usuario el cual sea claro y fácil de utilizar.

Crear el programa de cálculo de raíces mediante el software Scilab para la resolución de funciones lineales y polinomicas.

Analizar el comportamiento de nuestra función o polinomio ingresado, en el transcurso en el que los datos ingresados, para graficar y tabular sus resultados.

MARCO TEÓRICO

Scilab

SCILAB es un programa desarrollado de forma a disponer en un sólo ambiente herramientas de cálculo numérico, programación y gráficos. El mismo fue desarrollado por el INRIA (Institut Nationale de Recherche en Informatique et en Automatique) y el ENPC (Ecole Nationale des Ponts et Chaussées) de Francia. Es similar a MATLAB y otros programas de cálculo numérico. Puede ser utilizado en una variedad de sistemas operativos tales como UNIX, Windows, Linux, etc. A partir de Mayo de 2003, el programa pasa a ser mantenido por un conjunto de instituciones y empresas francesas denominado Consorcio SCILAB. Los objetivos principales del mismo son:

Organizar la cooperación e intercambio entre los desarrolladores de SCILAB, con vistas a incorporar dentro del programa los últimos avances científicos en el área de computación numérica;

Organizar la cooperación e intercambio entre usuarios de SCILAB de forma a que el programa pueda ser utilizado en forma efectiva en la industria, educación e investigación.

Figura.1 Ventana de Scilab

Variables Bidimensionales

Variables que surgen cuando se estudian dos o más características asociadas a la observación de un fenómeno.

Representación grafica

La forma más sencilla de representar gráficamente datos bidimensionales es mediante los denominados diagramas de dispersión (dibujo en los ejes cartesianos de la muestra).

Figura.2 Diagrama de Dispersión

REGRESIÓN

En la práctica surge con frecuencia la necesidad de tener que relacionar un conjunto de variables a través de una ecuación (ejem, el peso de unas personas con su altura).

La regresión es una técnica estadística que permite construir modelos que representan la dependencia entre variables o hacer predicciones de una variable Y en función de las observaciones de otras (x1,…,xk).

y=f(x1,…,xk)+Є

Y es la variable respuesta o dependiente(x1,…,xn)son las variables productoras, dependientes o covariablesЄes el término de error que se supone con media cero y varianza constante.

Las ecuaciones más comunes que se utilizan para expresar estas relaciones son:

Lineal

y=a+bX+Є

Cuadrática

y=a+bX+cX^2+Є

Polinomial

y=a0+a1X+⋯+a_k X^k+Є

Logarítmica

y=a+b lnX+Є

Exponencial

y=ae^bk+Є

Potencial

y=aX^b+Є

FIgura.3 Grafica regresión Lineal y Polinomial

Regresión Lineal

Nos dan unos puntos y nuestra misión es calcular una recta que se aproxime lo máximo a todos estos puntos

En el caso más sencillo, regresión lineal simple, la ecuación

y ̂=a+bX+Є

Nos da una estimación de y, siendo el error que se comete,

Є_k=y_k-y ̂_k

En es este caso a y b se eligen de manera que,

Є^2=∑_(k=1)^n▒〖〖(Є〗_k)〗^2 = ∑_(k=1)^n▒〖〖(y_k-y ̂_k)〗^2=〗 ∑_(k=1)^n▒(y_k-a-bx_k )^2

Sea mínimo

(∂Є^2)/∂a=0 ; (∂Є^2)/∂b=0

Figura.4Regresión Lineal

Para que el error disminuya derivo (porque esto al derivar la función me da los mínimos).

(1ec)

(∂Є^2)/∂a=0 =>∑_(k=1)^n▒〖(∂〖〖(y〗_k-a-bx_k)〗^2)/∂a=∑_(k=1)^n▒〖( 2(y_k-a-bx_k )(-1) )=〗〗 0

= 2(-∑_1^n▒y_k +∑_1^n▒a

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