10 Casos De Factoreo

Los 10 casos de factoreo: un enfoque desde el algebra de Baldor

CASO I

FACTOR COMUN MONOMIO

Descomponer en factores a^2+2a.

a^2+2a Contienen el factor común a. Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir a^2 / a = a y 2a / a = 2 y tendremos a^2+2a = a(a + 2).

b) FACTOR COMUN POLINOMIO

El primer paso cuando se va a factorizar un polinomio, ver que factor esta en todos los términos, luego sacar la base con el menos exponente, en los números, sacar el mayor factor común entre ellos y por último se multiplica el factor común por el polinomio.

Descomponer x (a +b) + m (a + b).

Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio (a + b).

Se escribe (a + b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribió los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b), o sea:

(x(a┤+b))/(a+b)=x

(m(a┤+b))/(a+b)=m

Y tendremos: x(a +b) + n(a + b) = (a +b)(x+m).

Factorar 2x(x + y + z) –x –y –z.

Tendremos:

introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo menos se tiene. 2x(x+y+z)-(x+y+z)=(x+y+z)(2x–1).

CASO II

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS

Descomponer ax + bx + ay + by.

Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y. agrupamos los dos primero términos en un paréntesis y los dos últimos en otros precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos:

= (ax + bx) + (ay + by)

= x(a + b) + y(a+b)

=(a + b)(x + y)

La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.

Así en el ejemplo anterior podemos agrupar el 1° y 3er términos que tienen el factor común a y el 2° y 4° que tienen el factor común b y tendremos:

= (ax + bx) + (ay + by)

= a(x + y) + b(x + y)

= (x + y)(a + b)

Resultando idéntico al anterior, ya que el orden de los factores es indiferente.

Factorar 3ax – 3x + 4y – 4ay

= (3ax – 4ay) + (4y - 4ay)

= 3x(a – 1) + 4y(1 - a)

=3x(a – 1) – 4y(a - 1)

= (a -1)(3x – 4y)

Nótese que en la segunda línea del ejemplo anterior los binomios (a-1) y (1-a) tienen los signos distintos: para hacerlos iguales cambiamos los signos al binomio (1-a) convirtiéndolo en (a-1), pero para que el producto 4y(1-a) no variara de signo se cambia el signo al otro factor 4y convirtiéndolo en -4y. De este modo, hemos cambiado los signos a un número par de factores, el signo del producto no varía.

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales. Además cuando el primero y tercero de los términos son cuadrados perfectos y positivos. Y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Así, a2+2ab+b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b. En efecto:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 +2ab + b2

Ejemplo:

Factorar m2 + 2m + 1

m2 + 2m + 1

= (m + 1)(m + 1) = (m+1)2

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADO PERFECTOS

La suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, es decir, (a + b) (a – b) = a2 – b2

Por tanto el proceso es, se extrae la raíz cuadrada del minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.

Ejemplo: Factorar 16x2-25y4

16x2-25y4 = (4x + 5y2)(4x-5y2)

CASOS ESPECIALES

COMBINACION DE LOS CASO III Y IV

Veremos a continuación la descomposición de expresiones compuestas en las cuales mediante un arreglo conveniente de sus términos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descomponiendo estos trinomios (caso III) se obtiene una diferencia de cuadrados (caso IV).

Factorar a2+2ab+b2-1

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