Algebra De Matrices

ALGEBRA DE MATRICES

Matrices

Las matrices son usadas en matemáticas discretas para expresar relaciones entre objetos.

Definición: Concepto de matriz Una matriz es un ordenación rectangular de números. Una matriz con m filas y n columnas es llamada una matriz de tamaño m x n.

Ejemplo:

DEFINICIÓN DE VECTOR (EN ÁLGEBRA MATRICIAL)

Una matriz que consta de una sola columna, es decir, una matriz m x l se conoce como vector columna, y se expresa como

Las letras son números reales: los componentes del vector; es el i-ésimo componente del vector u. Un vector columna que tiene m filas se dice que es un vector de m componentes, o que es m-dimensional.

Análogamente, una matriz que contiene una sola fila, es decir, una matriz 1 x n, se dice que es un vector fila y se expresa como

v = v =

Las letras son números reales: los componentes del vector; es el j-ésimo componente del vector v. Un vector fila con n columnas se dice que es un vector de n componentes, o que es n-dimensional.

Explicaciones generales

Matriz 3 x 4

El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz.

El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.

Ejemplo:

Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j

i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz A.

Si la matriz es B las posiciones de cada número son bi j

i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz B.

Ejemplos:

En la siguiente matriz indica la posición del número circulado.

OPERACIONES CON MATRICES

Suma de matrices

Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben tener el mismo número de filas y columnas.

Definición de suma:

Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn.

Ejemplo:

Suma las matrices A + B

Propiedades:

Ley asociativa

Ley conmutativa

Elemento neutro

Producto de un escalar

Definición:

Si kA = k(ai j) mxn

Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar.

Ejemplo:

Opera 2A

Inverso aditivo (resta)

Opera A – B

El orden es igual que en la suma pero debes

fijarte muy bien en los signos.

HOJA DE TRABAJO

En cada ejercicio realiza: a) A + B b) B – A c) 2 A + 3 B d) 5 A - 4 B

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Multiplicación de matrices:

Para poder multiplicar debemos revisar primero el numero de filas x columnas

Si tenemos que una matriz es 3 x 5 y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si

Matriz A Matriz B

3 x 5 5 x 2

Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cual es el tamaño de la matriz de la respuesta.

Matriz A

Matriz B

¿se puede multiplicar?

Tamaño de respuesta

3 x 4 4 x 5

5 x 6 6 x 2

5 x 3 4 x 6

7 x 8 8 x 2

4 x 2 3 x 4

5 x 7 7 x 2

3 x 1 1 x 4

4 x 3 4 x 3

2 x 5 5 x 4

Ejemplo:

Se opera asi:

Respuesta:

EJERCICIOS

Encuentra AB y BA, si es posible.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Resuelve el siguientes problema:

1) Tres ebanistas: José, Pedro y Arturo trabajan a destajo para una compañota de muebles .Por cada juego de alcoba en caoba les pagan $500; si es de cedro les pagan $400 y si es de pino tratado les pagan $100. A continuación están las matrices A y B que representas sus producciones en enero y febrero. La matriz X es la matriz pago/unidad.

Calcule las siguientes matrices y decida que representan.

a) b) c) D)

Evalúa la expresión matricial

Evalúa:

a) b) c) d)

1.4 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES

En esta sección se estudiarán tres tipos especiales de matrices: las matrices diagonales, las matrices identidad y las matrices nulas.

MATRICES DIAGONALES

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos iguales a cero, excepto los que pertenecen a su diagonal principal, la cual es la que va del extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho; así pues,

es una matriz diagonal si y sólo si

para i ≠ j

si al menos i = j (cuando todos los elementos de una matriz son ceros, se trata de una matriz nula, la cual se describirá más adelante)

Una matriz diagonal n x n puede indicarse por la notación

...