Analisis En El Tiempo

ANÁLISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO

1.- SEÑALES DE ENTRADA

Función impulso:

La función impulso es más un concepto matemático que una función. Tiene las siguientes propiedades

• La función es cero para cualquier valor de t, excepto para t = 0 (cero).

• Cuando la t es cero el valor de la función es infinito

Función Escalón Unitario:

La función escalón unitario se define como la integral de la función impulso desde el infinito negativo hasta el tiempo t. Conceptualmente, la integral de la función impulso es 0 si el tiempo t es menor que 0, y 1 si el tiempo t es mayor que cero. Así es como se define exactamente el escalón unitario.

El valor de la función en t=0, es indefinido. Otros textos lo pueden definir como 1 ó 0.

Función Rampa

La función rampa es la integral de la función escalón. Si consideramos que estamos sumando toda el área bajo la función escalón a hasta un tiempo t. Si t < 0 (cero), el valor de la integral será 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero), entonces el valor será igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo t, la cual también tiene el valor t, es decir:

Repuesta transitoria y respuesta en estado estable :

En los sistemas de control lineales se usa el tiempo como una variable independiente y por esto resulta interesante, en general, calcular la respuesta en el tiempo del sistema. Con frecuencia se aplica una señal de referencia en la entrada del sistema y se estudia el comportamiento del sistema en el dominio del tiempo. Si la finalidad del sistema de control es que la salida siga las variaciones de la entrada lo más fielmente posible, es importante comparar las variables de entrada y salida en todo tiempo.

En general, la respuesta en el tiempo de un sistema consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta de estado estable.

En donde:

respuesta transitoria;

: respuesta en estado estable.

La respuesta transitoria está definida como la parte de la respuesta en el tiempo que tiende a cero cuando el tiempo se hace muy grande.

La respuesta en estado estable es la parte de la respuesta total que permanece después que la transitoria ha desaparecido.

Si la respuesta en estado estable de la salida no concuerda exactamente con la referencia deseada, se dice que el sistema tiene un error en estado estable.

En el problema de diseño, las especificaciones se proporcionan normalmente en términos del desempeño transitorio y en estado estable, y los controladores se diseñan para que todas esas especificaciones sean cumplidas por el sistema diseñado.

2.-SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden.

Dado que la transformada de Laplace de la función escalón unitario es 1/s, sustituyendo R(s)=1/s en la ecuación:

.

Obtenemos:

Expandir Y(s) en fracciones parciales produce:

Si tomamos la transformada inversa de Laplace obtenemos

y(t)= 1 –e-t/T, para t  0

La ecuación plantea que la salida y(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial y(t) es que, para t=T, el valor de y(t) es 0.632, o que la respuesta y(t) alcanzó 63.2% de su valor final. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t=T en y(t).

y(t)=1- e-1=0.632

Constante de tiempo (T).- Es el tiempo que toma la respuesta al escalón unitario alcanzar el 63,2 % del valor final.

Tiempo de levantamiento (crecimiento) tr.- Es el tiempo de duración que la respuesta aumenta desde 0.1 a 0.9 del valor final.

tr = 2.2T

Tiempo de asentamiento (ts).- Es definido como el tiempo que la respuesta alcanza y permanece dentro del 2 % del valor final.

ts = 4T

Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden.

Dado que la transformada de Laplace de la función rampa unitaria es 1/s², obtenemos la salida del sistema de la figura

Como:

Si expandimos Y(s) en fracciones parciales, obtenemos

tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación obtenemos

y(t) = t – T + Te-t/T, para t  0

De este modo, la señal de error e(t) es

e(t) = r(t) - y(t)

= T(1 - e-t/T)

Conforme t tiende al infinito, e-t/T se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t) se aproxima a T o

e()=T

La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura

El error después de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t suficientemente grande. Entre más pequeña es la constante de tiempo T, más pequeño es el error en estado estable después de la entrada rampa.

Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden

Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1 y la salida del sistema de la figura

Pueden obtener como

o bien

para t  0

La curva de respuesta obtenida mediante la ecuación aparece en la siguiente figura:

3.- SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Respuestas escalón de sistemas de segundo orden.

La función de transferencia en lazo cerrado del sistema de la figura

Es

Que puede rescribirse como:

Los polos en lazo cerrado son complejos si B² - 4JK < 0, y son reales si B² - 4JK  0. En el análisis de la respuesta transitoria, es conveniente escribir

en donde:

σ : se denomina atenuación;

ωn, : frecuencia natural no amortiguada y

ζ : relación de amortiguamiento del sistema.

La  es el cociente entre amortiguamiento real B y el amortiguamiento crítico Bc = , o bien

en términos de  y ωn, el sistema de la figura:

Se convierte en el que aparece en al figura:

Y la función de transferencia en lazo cerrado Y(s)/R(s) obtenida mediante la ecuación

Se escribe como:

...