Calculo Integral Unidad IV

4.1 DEFINICIÓN DE SERIE.

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r2 + r3+ r4 + ... donde ... indica que la serie continúa indefinidamente.

Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.

Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:

Dada la sucesión {an} la serie formada por los términos de dicha sucesión se representa como: å an y corresponde a la suma de todos los términos de la sucesión.

4.1.1 Finita.

Las series tienen una características fundamental con respecto a su límite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión las series finitas son objeto de análisis.

Observando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por “N”, esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un numero finito de elementos acotados por "N".

4.1.2 Infinita.

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.

Si es una sucesión y

entonces es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

los números son los términos de la serie infinita.

EJEMPLO:

Sea la serie infinita

1. obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumas parciales y solución(a) como

2. determine una fórmula para en términos de n.

3. como

Se tiene, mediante fracciones parciales. Por tanto:

de esta forma, como

Al eliminar los paréntesis y reducir los términos semejantes se obtiene:

Si se considera n como 1, 2, 3 y 4 en esta ecuación, se verá que los resultados anteriores son correctos.

El método empleado en la solución del ejemplo anterior se aplica sólo un caso especial. En general, no es posible obtener una expresión de este tipo para s

Las series infinitas, cuyos términos son positivos, tiene propiedades especiales.

4.2 SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZÓN (CRITERIO DE D´ALEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAÍZ (CRITERIO DE CAUCHY).

EJEMPLO:

Demuestre que la serie es convergente:

Solución:

Se debe obtener una cota superior para la sucesión de sumas parciales de la serie

continua….

ahora se consideran los primeros n términos de la serie geométrica con a = 1 y r = :

La serie geométrica con a=1 y r= tiene la suma a/(1-r)=2. en consecuencia, la suma de la ecuación anterior es menor que 2. observe que cada término de la suma primera es menor que o igual al término correspondiente de la suma siguiente; esto es,

esto es cierto por que k¡ = 1 · 2 · 3 ·….· k, que , además del factor 1.

Contiene k – 1 factores cada uno mayor que o igual a 2. en consecuencia.

de lo anterior, tiene la cota superior 2. por tanto, por el teorema de la serie infinita la serie dada es convergente.

4.3 SERIE DE POTENCIAS.

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes an son los términos de una sucesión.

EJEMPLO:

Considere la serie de potencias.

el radio de convergencia se determina aplicando el critero de la razón.

en consecuencia, la serie de potencias es convergente cuando ; de modo que su radio de convergencia es R = 1.

Continua….

La serie que se obtiene al diferenciar término a término la serie anterior es :

si se aplica el criterio de la razón a esta serie de potencias se tiene

Ésta serie es convergente cuando < 1, así, su radio de convergencia es R´ = 1. como R = R´,

...