Conceptos de la teoría de colas

Actividad 1. Conceptos de la teoría de colas

Subtema 1.2.1. Modelo de un servidor con un límite infinito de clientes

(M/M/1/GD/∞/∞)

Ejercicio 1 Todos los vehículos que salen de una empresa automotriz, tienen que ser revisados para certificar su traslado por tren a otro país y garantizar que los autos no lleven armas, droga o cualquier objeto ilegal. Supón que 10 carros por minuto en promedio llegan a la estación del tren (los tiempos entre llegadas son exponenciales). Para investigar si los autos llevan algo ilegal se revisa con un aparato de rayos X. El aparato puede verificar un promedio de 12 carros por minuto. El tiempo de revisión de los carros es exponencial. De acuerdo a la nomenclatura Kendall, responde lo siguiente:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un carro tenga que esperar antes de ser revisado en busca de algo ilegal?

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2. ¿Cuántos carros, en promedio, hacen fila para pasar la revisión?

 Carros[pic 4]

3. ¿Cuánto tiempo pasará el pasajero en el punto de revisión, en promedio?

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Ejercicio 2 Una empresa está decidiendo contratar alguna de las dos empresas (A y B) que le pueden rentar los camiones para el transporte de su personal. El costo por hora del chofer es de $80 pesos. La empresa A cobra 800 pesos la hora y el chofer requiere un promedio de 4 horas para completar la vuelta. La empresa B cobra $1000 pesos por hora, pero tarda 2.4 horas en completar la vuelta (esto debido a que sus camiones son modernos y transitan una ruta de cuota). Se requieren en promedio 1 vuelta por cada 5 horas para el transporte de los empleados. Los tiempos entre llegadas son exponenciales y servicio son exponenciales. ¿Cuál empresa se debe contratar (A o B)?

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Empresa A

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Cobra 800 por hora

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Empresa B

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Cobra 1000 por hora

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Si la solución es apagarse a la vuelta cada 5 horas el más apegado al requerimiento es la empresa A, sin embargo si es productividad en vueltas la mejor opción es la empresa B ya que es esas 5 horas logra dar el doble de vueltas que la empresa A

Ejercicio 3 Dentro de una parte de la cadena de suministro se tiene un cuello de botella en el cual un promedio de 40 solicitudes por hora llegan esta parte. Se requiere un minuto en promedio para atender una solicitud. Suponga que los tiempos entre llegadas y de servicio son exponenciales.

1. ¿Cuantas solicitudes están en fila, en promedio?

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2. ¿Cuánto tiempo, en promedio, pasa una solicitud en el sistema?

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Ejercicio 4 Todos los sábados se lleva a mantenimiento preventivo a los vehículos de una empresa de mensajería, en promedio el taller puede atender a 100 transportes en un día y está abierto 1.2 horas. En promedio hay 15 transportes por día. ¿Alcanza el tiempo de 1.2 para poder atender a los transportes, (un día es de 8 horas)?

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Probabilidad de que el servidor tenga 1 cliente en servicio:

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Probabilidad de que el servidor tenga 2 clientes en servicio:

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Probabilidad de que el servidor tenga 3 clientes en servicio:

...[pic 21]

Número de clientes en el sistema:

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Número de clientes formados:

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Número de clientes que están siendo atendidos:

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Tiempo en el sistema:

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Tiempo en la cola para cada vehículo es de:

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Tiempo de servicio para cada vehículo:

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Considerando que llegarán 15 vehículos a servicio y se requieren 5.65 min para cada uno, faltarán 0.21 horas para poder atender a todos los vehículos; es decir, faltarán 13 minutos para poderlos atender a todos.

Subtema 1.2.2. Modelo de un servidor con un número finito de clientes (M/M/1/GD/c/∞)

Ejercicio 1 Una instalación de servicio para camiones de carga, consta de una sola grúa hidráulica para levantar los camiones, con esta grúa los mecánicos son capaces de atender 2 camiones de carga por hora (tiempos de servicio exponenciales). Un promedio de 3 camiones de carga por hora llegan a la instalación (se supone que los tiempos entre llegadas son exponenciales). La capacidad del sistema es de 3 camiones de carga.

1. ¿Cuántos camiones de carga entran en promedio, al sistema cada hora?

 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la grúa este ocupada?

Considerando que j = número de clientes en servicio = 3 (considerando la capacidad máxima, es decir el número máximo de clientes que puede esperar en la fila es c = 3, que λ = tasa de llegadas por unidad de tiempo = 3 camiones de carga por hora y que µ = tasa de servicio por unidad de tiempo = 2 camiones de carga por hora), los resultados obtenidos son:

Intensidad de tráfico:

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Probabilidad de que ningún camión se presente:

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Probabilidad de que haya c = 3 camiones:

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Número de camiones de carga en el sistema:

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Número de camiones de carga en servicio:

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Número de camiones de carga en la fila:

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Tiempo en el sistema:

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Tiempo en la fila:

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Tiempo con el servidor:

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a) El número esperado de clientes que entran al sistema es: λ(1 – π3) = 3 (1 – 0.4154) = 3 (0.5846) = 1.7538 ≈ 2.

b) Probabilidad de que la grúa esté ocupada es igual al 100 % menos la probabilidad de que ningún camión se presente, esto es: 1 – π0 = 1 – 0.1231 = 0.8767 u 87.67 %

Ejercicio 2 Un promedio de 30 paquetes por hora pasan por la banda transportadora para ser etiquetadas (los tiempos entre llegadas y servicio siguen una distribución exponencial). Si existen más de 3 paquetes en esperar de entrar a la banda las demás cajas las tiene que mandar a otra banda (esto para evitar paros en la banda ya que existiría sobresaturación de artículos) se requiere un promedio de 3 minutos (distribución exponencial) para etiquetar cada paquete.

1. ¿Cuál es la cantidad promedio de paquetes en el sistema?

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